Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/2t^3−3t^2+2t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=6 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/2t^3−3t^2+2t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=6 с.
Для нахождения скорости материальной точки в момент времени t=6 с необходимо найти производную функции x(t) по времени t и подставить t=6 с.
x'(t) = (3/2)t^2 - 6t + 2
Теперь найдем значение скорости в момент времени t=6 с:
x'(6) = (3/2)(6)^2 - 6(6) + 2 x'(6) = (3/2)(36) - 36 + 2 x'(6) = 54 - 36 + 2 x'(6) = 20 м/с
Итак, скорость материальной точки в момент времени t=6 с равна 20 м/с.
Чтобы найти скорость материальной точки в момент времени ( t = 6 ) секунд, нам нужно найти производную функции положения ( x(t) ) по времени. Это даст нам функцию скорости ( v(t) ).
Дана функция положения: [ x(t) = \frac{1}{2}t^3 - 3t^2 + 2t. ]
Найдем производную ( x(t) ) по времени ( t ): [ v(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}t^3 - 3t^2 + 2t\right). ]
Рассчитаем производную каждого члена по отдельности:
Производная от ( \frac{1}{2}t^3 ) равна: [ \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}t^3\right) = \frac{1}{2} \cdot 3t^2 = \frac{3}{2}t^2. ]
Производная от ( -3t^2 ) равна: [ \frac{d}{dt}(-3t^2) = -3 \cdot 2t = -6t. ]
Производная от ( 2t ) равна: [ \frac{d}{dt}(2t) = 2. ]
Теперь объединим эти производные, чтобы получить функцию скорости: [ v(t) = \frac{3}{2}t^2 - 6t + 2. ]
Теперь подставим ( t = 6 ) секунд в уравнение для скорости: [ v(6) = \frac{3}{2}(6)^2 - 6(6) + 2. ]
Вычислим каждое слагаемое: [ \frac{3}{2}(6)^2 = \frac{3}{2} \cdot 36 = 54, ] [ -6(6) = -36, ] [ 2 = 2. ]
Сложим все вместе: [ v(6) = 54 - 36 + 2 = 20. ]
Таким образом, скорость материальной точки в момент времени ( t = 6 ) секунд равна ( 20 ) метров в секунду.
