Материальная точка движется по прямой согласно уравнению x(t)=1+t/2+t Найдите ее скорость и ускорение...

Для нахождения скорости и ускорения материальной точки, движущейся по прямой, нам нужно использовать уравнение её движения, которое задано как ( x(t) = 1 + \frac{t}{2} + t ).

Сначала упростим уравнение:

[ x(t) = 1 + \frac{t}{2} + t = 1 + \frac{t}{2} + \frac{2t}{2} = 1 + \frac{3t}{2} ]

Теперь у нас есть упрощённое уравнение движения ( x(t) = 1 + \frac{3t}{2} ).

1. Нахождение скорости

Скорость ( v(t) ) материальной точки определяется как производная координаты по времени:

[ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} ]

Теперь найдём производную ( x(t) ):

[ v(t) = \frac{d}{dt}\left(1 + \frac{3t}{2}\right) = 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} ]

Скорость ( v(t) ) постоянна и равна ( \frac{3}{2} ) для любого времени ( t ).

2. Нахождение ускорения

Ускорение ( a(t) ) определяется как производная скорости по времени:

[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} ]

Так как скорость ( v(t) = \frac{3}{2} ) постоянна, её производная будет равна нулю:

[ a(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{3}{2}\right) = 0 ]

Результаты

Таким образом, в момент времени ( t_0 = 2 ):

• Скорость ( v(2) = \frac{3}{2} ).
• Ускорение ( a(2) = 0 ).

Ответ: Скорость в момент времени ( t_0 = 2 ) составляет ( \frac{3}{2} ), а ускорение равно ( 0 ).

Давайте разберем это уравнение движения материальной точки ( x(t) = 1 + \frac{t}{2} + t ), чтобы найти её скорость и ускорение в момент времени ( t_0 = 2 ).

1. Найдём скорость точки

Скорость ( v(t) ) определяется как первая производная функции ( x(t) ) по времени ( t ): [ v(t) = \frac{dx(t)}{dt}. ]

Запишем данное уравнение: [ x(t) = 1 + \frac{t}{2} + t. ]

Теперь возьмём производную по ( t ): [ v(t) = \frac{d}{dt} \left( 1 + \frac{t}{2} + t \right). ]

Производная постоянной величины ((1)) равна нулю, производная от ( \frac{t}{2} ) равна ( \frac{1}{2} ), а производная от ( t ) равна ( 1 ). Таким образом: [ v(t) = 0 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}. ]

Обратите внимание, что скорость не зависит от времени ( t ), так как производная оказалась константой. Это означает, что движение равномерное, и скорость постоянна.

2. Найдём ускорение точки

Ускорение ( a(t) ) определяется как первая производная от скорости ( v(t) ) по времени ( t ), или как вторая производная функции ( x(t) ) по времени ( t ): [ a(t) = \frac{d^2x(t)}{dt^2}. ]

Поскольку ( v(t) = \frac{3}{2} ) является константой (не зависит от времени), то производная от константы равна нулю: [ a(t) = 0. ]

3. Подставим ( t_0 = 2 )

Так как скорость и ускорение не зависят от времени, их значения одинаковы для любого ( t ), в том числе и для ( t_0 = 2 ): [ v(2) = \frac{3}{2}, \quad a(2) = 0. ]

Ответ:

• Скорость точки в момент времени ( t_0 = 2 ): ( v = \frac{3}{2} ) (единиц скорости).
• Ускорение точки в момент времени ( t_0 = 2 ): ( a = 0 ) (единиц ускорения).