Log(3)5*log(5)81 Распишите, по подробней решение, пожалуйста, а то чёт ваще не втыкаю :(

Чтобы решить выражение (\log(3)5 \cdot \log(5)81), начнем с использования свойств логарифмов.

1. Свойства логарифмов: Существует несколько основных свойств логарифмов, которые помогут нам упростить выражение:

   • (\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}) (логарифм по одному основанию можно выразить через логарифмы по другому основанию)
   • (\log_a (b^n) = n \cdot \log_a b) (логарифм степени можно вынести перед логарифмом)
   • (\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c) (логарифм произведения равен сумме логарифмов)

2. Разложение логарифмов: Начнем с первого логарифма (\log(3)5): [ \log(3)5 = \frac{\log 5}{\log 3} ]

   Теперь разложим второй логарифм (\log(5)81): [ \log(5)81 = \log(5)(3^4) = 4 \cdot \log(5)3 ]

   Поскольку (\log(5)3) также можно выразить через (\log 3) и (\log 5): [ \log(5)3 = \frac{\log 3}{\log 5} ]

   Таким образом, можем выразить (\log(5)81): [ \log(5)81 = 4 \cdot \frac{\log 3}{\log 5} ]

3. Соберем всё вместе: Теперь подставим полученные выражения в исходное: [ \log(3)5 \cdot \log(5)81 = \left(\frac{\log 5}{\log 3}\right) \cdot \left(4 \cdot \frac{\log 3}{\log 5}\right) ]

   Упрощая, мы видим, что (\log 5) и (\log 3) сокращаются: [ = 4 \cdot \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{\log 3}{\log 5} = 4 \cdot 1 = 4 ]

Таким образом, итоговое значение выражения (\log(3)5 \cdot \log(5)81) равно (4).

Для решения выражения ( \log(3)5 \cdot \log(5)81 ) можно воспользоваться свойством логарифмов:

[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} ]

Где ( c ) — это произвольный положительный базис логарифма. Для удобства можем принять базис 10 или ( e ), но здесь это не обязательно.

1. Рассмотрим ( \log(3)5 ): [ \log(3)5 = \frac{\log(5)}{\log(3)} ]

2. Теперь рассмотрим ( \log(5)81 ): [ \log(5)81 = \frac{\log(81)}{\log(5)} ]

Теперь подставим эти выражения в исходное:

[ \log(3)5 \cdot \log(5)81 = \left(\frac{\log(5)}{\log(3)}\right) \cdot \left(\frac{\log(81)}{\log(5)}\right) ]

Здесь ( \log(5) ) сокращается:

[ = \frac{\log(81)}{\log(3)} ]

Теперь давайте упростим ( \log(81) ):

[ \log(81) = \log(3^4) = 4 \cdot \log(3) ]

Подставляем это значение:

[ = \frac{4 \cdot \log(3)}{\log(3)} = 4 ]

Таким образом, окончательный ответ:

[ \log(3)5 \cdot \log(5)81 = 4 ]

Конечно, давайте подробно разберём, как решить выражение ( \log_3{5} \cdot \log_5{81} ).

Шаг 1. Понимание выражения

У нас есть два логарифма:

1. (\log_3{5}): это логарифм числа (5) по основанию (3). То есть, это число, которое показывает, в какую степень нужно возвести (3), чтобы получить (5).
2. (\log_5{81}): это логарифм числа (81) по основанию (5). То есть, это число, которое показывает, в какую степень нужно возвести (5), чтобы получить (81).

Нам нужно найти произведение этих двух логарифмов:
[ \log_3{5} \cdot \log_5{81}. ]

Шаг 2. Использование свойства логарифмов

Существует важное свойство логарифмов, которое мы здесь применим: свойство изменения основания логарифма. Оно говорит:
[ \log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}. ]

Это свойство позволяет выразить логарифм с любым основанием через логарифмы с другим основанием. Мы будем использовать это свойство, чтобы преобразовать наши логарифмы.

Шаг 3. Преобразование логарифмов

Логарифм (\log_3{5}):

Используем свойство изменения основания, чтобы выразить этот логарифм через основание (10) (или любое другое удобное основание): [ \log_3{5} = \frac{\log{5}}{\log{3}}. ]

Логарифм (\log_5{81}):

Аналогично, выразим его через основание (10): [ \log_5{81} = \frac{\log{81}}{\log{5}}. ]

Теперь у нас выражение выглядит так: [ \log_3{5} \cdot \log_5{81} = \left( \frac{\log{5}}{\log{3}} \right) \cdot \left( \frac{\log{81}}{\log{5}} \right). ]

Шаг 4. Упрощение выражения

Обратите внимание, что в числителе и знаменателе второго логарифма есть (\log{5}), и они сокращаются: [ \left( \frac{\log{5}}{\log{3}} \right) \cdot \left( \frac{\log{81}}{\log{5}} \right) = \frac{\log{81}}{\log{3}}. ]

Теперь наше выражение стало проще: [ \log_3{5} \cdot \log_5{81} = \frac{\log{81}}{\log{3}}. ]

Шаг 5. Упрощение (\frac{\log{81}}{\log{3}})

Заметим, что (81 = 3^4), и мы можем использовать ещё одно важное свойство логарифмов:
[ \log{a^n} = n \cdot \log{a}. ]

Применяя это свойство к (\log{81}), получаем: [ \log{81} = \log{(3^4)} = 4 \cdot \log{3}. ]

Подставим это в наше выражение: [ \frac{\log{81}}{\log{3}} = \frac{4 \cdot \log{3}}{\log{3}}. ]

Сокращаем (\log{3}) в числителе и знаменателе: [ \frac{\log{81}}{\log{3}} = 4. ]

Шаг 6. Ответ

Получается, что: [ \log_3{5} \cdot \log_5{81} = 4. ]

Итог

Мы нашли, что значение выражения (\log_3{5} \cdot \log_5{81}) равно (4). Если у вас ещё остались вопросы или непонятные моменты, напишите! 😊