Log3 (x+2) + log3 x = 1

Для решения уравнения (\log_3 (x+2) + \log_3 x = 1), мы можем воспользоваться свойством логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов. То есть:

[ \log_3 (x+2) + \log_3 x = \log_3 ((x+2) \cdot x) ]

Таким образом, уравнение преобразуется в:

[ \log_3 (x^2 + 2x) = 1 ]

Теперь мы можем избавиться от логарифма, воспользовавшись определением логарифма: если (\log_b a = c), то (b^c = a). Применяя это к нашему уравнению, получаем:

[ x^2 + 2x = 3^1 ]

Таким образом, уравнение упрощается до:

[ x^2 + 2x = 3 ]

Теперь приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

[ x^2 + 2x - 3 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение методом дискриминанта. Формула дискриминанта (D) для квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) имеет вид:

[ D = b^2 - 4ac ]

Для нашего уравнения (a = 1), (b = 2), (c = -3). Подставляем эти значения в формулу дискриминанта:

[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня. Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставляем наши значения:

[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2} ]

Получаем два корня:

1. (x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1)
2. (x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3)

Теперь проверим, какие из этих решений подходят для исходного логарифмического уравнения. Поскольку логарифм определён только для положительных аргументов, необходимо, чтобы (x > 0) и (x + 2 > 0).

При (x = 1):

• (x > 0) истинно, поскольку (1 > 0)
• (x + 2 = 3 > 0)

При (x = -3):

• (x > 0) ложно, поскольку (-3) не больше 0
• (x + 2 = -1), что также не удовлетворяет условию положительности аргумента логарифма

Таким образом, единственным подходящим решением является (x = 1).

Ответ: (x = 1).

x = 1/2

Для решения данного уравнения нужно применить свойство логарифмов, которое гласит, что логарифм суммы равен сумме логарифмов: log(a) + log(b) = log(a*b). Таким образом, мы можем объединить два логарифма в один:

log3 ((x + 2) * x) = 1

Теперь у нас есть уравнение вида log3 (x^2 + 2x) = 1. Теперь используем определение логарифма: если log3 (x) = 1, то 3^1 = x. Таким образом, мы можем записать уравнение в виде:

x^2 + 2x = 3

x^2 + 2x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = 2^2 - 41(-3) = 4 + 12 = 16

x1,2 = (-2 ± √16) / 2 = (-2 ± 4) / 2

x1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3

x2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Итак, у нас два корня уравнения: x1 = 3 и x2 = -1.