Квадрат с диагональю 12 см вращается вокруг одной из своих сторон.Найди объём и площадь полной поверхности...

Объем тела вращения: 144π см³ Площадь полной поверхности тела вращения: 72π см²

Чтобы найти объём и площадь полной поверхности тела вращения, образованного квадратом с диагональю 12 см, который вращается вокруг одной из своих сторон, нам нужно рассмотреть фигуру, полученную в результате этого вращения. В данном случае это будет цилиндр.

Шаг 1: Найдите сторону квадрата

Диагональ квадрата (d) связана с его стороной (a) следующим образом, согласно теореме Пифагора:

[ d = a\sqrt{2} ]

У нас дано, что диагональ (d = 12) см. Подставим это в формулу:

[ 12 = a\sqrt{2} ]

Отсюда найдем сторону квадрата (a):

[ a = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см} ]

Шаг 2: Найдите объём цилиндра

Поскольку квадрат вращается вокруг одной из своих сторон, высота цилиндра будет равна стороне квадрата (a = 6\sqrt{2}), а радиус основания цилиндра равен половине стороны квадрата, то есть:

[ r = 6\sqrt{2} ]

Формула объёма цилиндра:

[ V = \pi r^2 h ]

Подставим значения:

[ V = \pi (6\sqrt{2})^2 (6\sqrt{2}) ]

Сначала вычислим (r^2):

[ (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72 ]

Теперь подставим всё в формулу для объёма:

[ V = \pi \times 72 \times 6\sqrt{2} = 432\sqrt{2} \pi \text{ кубических сантиметров} ]

Шаг 3: Найдите площадь полной поверхности цилиндра

Формула полной поверхности цилиндра:

[ S = 2\pi r (r + h) ]

Подставим значения:

[ S = 2\pi (6\sqrt{2}) (6\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) ]

Вычислим сумму:

[ 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2} ]

Теперь подставим в формулу:

[ S = 2\pi \times 6\sqrt{2} \times 12\sqrt{2} ]

[ S = 2\pi \times 72 \times 2 = 288\pi \text{ квадратных сантиметров} ]

Итог

Таким образом, объём тела вращения (цилиндра) составляет (432\sqrt{2} \pi) кубических сантиметров, а площадь полной поверхности — (288\pi) квадратных сантиметров.

Для нахождения объема тела вращения квадрата вокруг одной из его сторон нужно воспользоваться формулой объема цилиндра: V = S * h, где S - площадь основания (квадрата), а h - высота цилиндра (длина стороны квадрата).

Площадь квадрата можно найти, используя формулу S = a^2, где a - длина стороны квадрата. Так как диагональ квадрата равна 12 см, то можно найти длину стороны квадрата, используя теорему Пифагора: a^2 + a^2 = 12^2 => 2a^2 = 144 => a^2 = 72 => a = √72 = 6√2.

Теперь можем найти площадь основания квадрата: S = (6√2)^2 = 72 см^2.

Высота цилиндра равна длине стороны квадрата: h = 6√2 см.

Теперь можем найти объем тела вращения: V = 72 * 6√2 = 432√2 см^3.

Для нахождения площади полной поверхности тела вращения нужно найти боковую поверхность цилиндра и добавить к ней площадь основания.

Боковая поверхность цилиндра равна произведению окружности, образованной диагональю квадрата, на его высоту: Sб = π d h, где d - диаметр окружности, равный длине диагонали квадрата.

d = 12 см, h = 6√2 см, π ≈ 3,14.

Sб = 3,14 12 6√2 = 226,08 см^2.

Теперь можем найти площадь полной поверхности тела вращения: Sп = Sб + 2S = 226,08 + 2*72 = 370,08 см^2.

Итак, объем тела вращения равен 432√2 см^3, а площадь полной поверхности тела вращения равна 370,08 см^2.