Какой угол составляют между собой ненулевые векторы a и b, если известно, что вектор a+3b перпендикулярен вектору 7a-5b, а вектор a-4b пер-ен 7a-2b? помогите пожалуйста!
Какой угол составляют между собой ненулевые векторы a и b, если известно, что вектор a+3b перпендикулярен вектору 7a-5b, а вектор a-4b пер-ен 7a-2b? помогите пожалуйста!
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством перпендикулярности векторов. Два вектора перпендикулярны друг другу, если их скалярное произведение равно нулю.
Итак, у нас есть два условия:
1) (a + 3b) (7a - 5b) = 0 2) (a - 4b) (7a - 2b) = 0
Раскрываем скалярное произведение:
1) 7a^2 - 5ab + 21ab - 15b^2 = 0 7a^2 + 16ab - 15b^2 = 0
2) 7a^2 - 2ab - 28ab + 8b^2 = 0 7a^2 - 30ab + 8b^2 = 0
Теперь нам нужно решить систему уравнений:
7a^2 + 16ab - 15b^2 = 0 7a^2 - 30ab + 8b^2 = 0
Выразим из первого уравнения a^2 через b и подставим во второе уравнение:
16b^2 - 15b^2 - 30ab + 8b^2 = 0 -15b^2 - 30ab + 8b^2 = 0 -7b(4b - 15a) = 0
Отсюда получаем два возможных варианта:
1) b = 0 2) 4b - 15a = 0
Если b = 0, то вектор b является нулевым вектором, что противоречит условию задачи о том, что векторы a и b ненулевые.
Если 4b - 15a = 0, то a = (4/15)b
Теперь найдем угол между векторами a и b, используя формулу для скалярного произведения:
cos(угол) = (a b) / (|a| |b|)
cos(угол) = (a b) / (√(16/225) √1) = (4/15) / (4/15) = 1
Угол между векторами a и b равен 0 градусов, что означает, что они коллинеарны.
Чтобы определить угол между ненулевыми векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), воспользуемся условием перпендикулярности данных векторов.
[ (\mathbf{a} + 3\mathbf{b}) \cdot (7\mathbf{a} - 5\mathbf{b}) = 0 ]
Раскроем скалярное произведение:
[ \mathbf{a} \cdot (7\mathbf{a} - 5\mathbf{b}) + 3\mathbf{b} \cdot (7\mathbf{a} - 5\mathbf{b}) = 0 ]
[ 7(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) - 5(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + 21(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) - 15(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}) = 0 ]
Так как скалярное произведение коммутативно ((\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a})), упростим выражение:
[ 7\mathbf{a}^2 - 5\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 21\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - 15\mathbf{b}^2 = 0 ]
[ 7\mathbf{a}^2 + 16\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - 15\mathbf{b}^2 = 0 ]
[ (\mathbf{a} - 4\mathbf{b}) \cdot (7\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = 0 ]
Раскроем скалярное произведение:
[ \mathbf{a} \cdot (7\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) - 4\mathbf{b} \cdot (7\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = 0 ]
[ 7(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) - 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) - 28(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) + 8(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}) = 0 ]
[ 7\mathbf{a}^2 - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - 28\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 8\mathbf{b}^2 = 0 ]
[ 7\mathbf{a}^2 - 30\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 8\mathbf{b}^2 = 0 ]
Таким образом, у нас есть две системы уравнений:
Решим эту систему уравнений. Для удобства обозначим:
[ \mathbf{a}^2 = A, \quad \mathbf{b}^2 = B, \quad \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = C ]
Тогда система уравнений примет вид:
Решим систему уравнений методом сложения и вычитания. Умножим первое уравнение на 15, а второе уравнение на 8:
[ 105A + 240C - 225B = 0 ] [ 56A - 240C + 64B = 0 ]
Теперь сложим эти два уравнения:
[ (105A + 240C - 225B) + (56A - 240C + 64B) = 0 ]
[ 161A - 161B = 0 ]
[ A = B ]
Теперь подставим ( A = B ) в одно из исходных уравнений, например, в первое:
[ 7A + 16C - 15A = 0 ]
[ -8A + 16C = 0 ]
[ C = \frac{8A}{16} = \frac{A}{2} ]
Теперь вспомним, что ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = C ), и используем формулу для косинуса угла между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ):
[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{C}{\sqrt{A} \sqrt{B}} = \frac{\frac{A}{2}}{A} = \frac{1}{2} ]
Таким образом, угол ( \theta ) между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равен:
[ \theta = \arccos \left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ ]
Ответ: угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) составляет ( 60^\circ ).
Угол между векторами a и b равен 60 градусов.
