Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе у = х2 — Зх+ 5, проведенная в точке М(2; 3)? Написать уравнение этой касательной.
Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе у = х2 — Зх+ 5, проведенная в точке М(2; 3)? Написать уравнение этой касательной.
Давайте подробно разберём задачу.
Уравнение параболы:
[
y = x^2 - 3x + 5
]
Точка ( M(2; 3) ) лежит на параболе. Нужно:
Подставим координаты точки ( M(2; 3) ) в уравнение параболы, чтобы убедиться, что точка действительно принадлежит графику: [ y = x^2 - 3x + 5 ] Подставляем ( x = 2 ): [ y = 2^2 - 3 \cdot 2 + 5 = 4 - 6 + 5 = 3 ] Точка ( M(2; 3) ) действительно лежит на параболе.
Угол наклона касательной к графику функции в данной точке определяется производной функции в этой точке. Сначала найдём производную ( y'(x) ) функции: [ y = x^2 - 3x + 5 ] [ y'(x) = 2x - 3 ]
Теперь подставим ( x = 2 ), чтобы найти значение производной в точке ( M(2; 3) ): [ y'(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1 ]
Значение производной ( y'(2) = 1 ) даёт нам угловой коэффициент касательной ( k ), то есть наклон касательной равен ( k = 1 ).
Угол наклона касательной ( \alpha ) к оси абсцисс можно найти через тангенс:
[
\tan \alpha = k
]
[
\tan \alpha = 1
]
Из таблицы значений тригонометрических функций:
[
\alpha = 45^\circ
]
Итак, угол наклона касательной к оси ( Ox ) равен ( 45^\circ ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом ( k ), проходящей через точку ( M(x_0; y_0) ), имеет вид: [ y - y_0 = k(x - x_0) ] Подставим ( k = 1 ), ( x_0 = 2 ), ( y_0 = 3 ): [ y - 3 = 1 \cdot (x - 2) ] [ y - 3 = x - 2 ] [ y = x + 1 ]
Итак, уравнение касательной: [ y = x + 1 ]
Сначала найдем производную функции ( y = x^2 - 3x + 5 ), чтобы определить угловой коэффициент касательной.
Находим производную: [ y' = 2x - 3 ]
Подставляем ( x = 2 ): [ y'(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 ] Угловой коэффициент касательной равен 1.
Угол ( \phi ) между касательной и осью абсцисс можно найти по формуле: [ \tan(\phi) = m ] где ( m ) — угловой коэффициент. В нашем случае ( m = 1 ), значит: [ \phi = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \text{ (или 45°)} ]
Теперь находим уравнение касательной в точке ( M(2; 3) ). Используем формулу: [ y - y_0 = m(x - x_0) ] Подставляем ( (x_0, y_0) = (2, 3) ) и ( m = 1 ): [ y - 3 = 1(x - 2) ] Упрощаем: [ y - 3 = x - 2 \implies y = x + 1 ]
Таким образом, угол между касательной и осью абсцисс составляет ( 45° ), а уравнение касательной: [ y = x + 1. ]
Для нахождения угла, который образует касательная к параболе ( y = x^2 - 3x + 5 ) с осью абсцисс, и уравнения этой касательной, мы будем следовать нескольким шагам.
Найдём производную функции. Производная функции ( y = x^2 - 3x + 5 ) даст нам угловой коэффициент касательной в любой точке ( x ).
[ y' = \frac{dy}{dx} = 2x - 3 ]
Вычислим производную в точке ( M(2, 3) ). Подставим ( x = 2 ) в производную:
[ y'(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 ]
Угловой коэффициент касательной в точке ( M ) равен 1.
Найдем уравнение касательной. Уравнение касательной к функции можно записать в форме:
[ y - y_0 = m(x - x_0) ]
где ( (x_0, y_0) ) — точка касания, а ( m ) — угловой коэффициент. Подставим известные значения:
[ y - 3 = 1(x - 2) ]
Упростим это уравнение:
[ y - 3 = x - 2 ] [ y = x + 1 ]
Таким образом, уравнение касательной к параболе в точке ( M(2, 3) ):
[ y = x + 1 ]
Определим угол наклона касательной. Угол ( \theta ), который образует касательная с осью абсцисс, можно найти с помощью тангенса угла наклона:
[ \tan(\theta) = m ]
В нашем случае ( m = 1 ). Следовательно,
[ \tan(\theta) = 1 ]
Угол ( \theta ) можно найти, используя арктангенс:
[ \theta = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \text{ радиан} = 45^\circ ]
Таким образом, касательная к параболе ( y = x^2 - 3x + 5 ), проведенная в точке ( M(2, 3) ), образует угол ( 45^\circ ) с осью абсцисс, а её уравнение:
[ y = x + 1 ]
