Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график:y = x^3 - 3x

Для исследования функции ( y = x^3 - 3x ) с помощью производной и построения её графика, выполним следующие шаги:

1. Нахождение первой производной и критических точек

   Найдем первую производную функции: [ y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 ] Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: [ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 ]

2. Исследование знака производной и точек экстремума

   Исследуем знаки производной в интервалах, разделенных точками ( x = -1 ) и ( x = 1 ):

   • если ( x < -1 ), например ( x = -2 ), то ( y' = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0 ) (функция возрастает)
   • если ( -1 < x < 1 ), например ( x = 0 ), то ( y' = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 ) (функция убывает)
   • если ( x > 1 ), например ( x = 2 ), то ( y' = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0 ) (функция возрастает)

   Таким образом, ( x = -1 ) является точкой локального максимума, а ( x = 1 ) — точкой локального минимума.

3. Нахождение второй производной и точек перегиба

   Возьмем вторую производную: [ y'' = (3x^2 - 3)' = 6x ] Приравняем вторую производную к нулю: [ 6x = 0 \implies x = 0 ] Проверим знак второй производной на интервалах:

   • если ( x < 0 ), например ( x = -1 ), то ( y'' = 6(-1) = -6 < 0 ) (функция выпукла вниз)
   • если ( x > 0 ), например ( x = 1 ), то ( y'' = 6(1) = 6 > 0 ) (функция выпукла вверх)

   Таким образом, ( x = 0 ) является точкой перегиба.

4. Построение графика

   • Значения функции в критических точках: [ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 ] [ y(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 ]
   • График проходит через точки ((-1, 2)), ( (0, 0) ), и ( (1, -2) ).
   • Функция возрастает на ((-∞, -1)) и ((1, ∞)), убывает на ((-1, 1)).
   • В точке ( x = 0 ) происходит изменение выпуклости с вогнутости на выпуклость.

На основании этого анализа можно построить график функции ( y = x^3 - 3x ), который будет иметь локальный максимум в точке ((-1, 2)), локальный минимум в точке ((1, -2)) и точку перегиба в ((0, 0)). График будет иметь форму, напоминающую букву "S".

Для исследования функции y = x^3 - 3x сначала найдем ее производную.

dy/dx = 3x^2 - 3

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

3x^2 - 3 = 0 3x^2 = 3 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, точки экстремума функции находятся в точках x = -1 и x = 1.

Теперь определим характер экстремумов. Для этого вычислим вторую производную:

d^2y/dx^2 = 6x

Подставив точки экстремума, получаем:

d^2y/dx^2(-1) = -6 < 0 d^2y/dx^2(1) = 6 > 0

Итак, в точке x = -1 функция имеет локальный максимум, а в точке x = 1 - локальный минимум.

Теперь построим график функции y = x^3 - 3x. На графике учтем найденные точки экстремума (-1, 4) и (1, -2). График будет иметь форму кубической параболы с вершиной в точке (0, 0) и экстремумами в указанных точках.