Исследовать функцию y = x^3+6x^2+9x и построить ее график

Для исследования функции y = x^3 + 6x^2 + 9x необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции: y' = 3x^2 + 12x + 9. Далее найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 3x^2 + 12x + 9 = 0. Найдем корни этого уравнения и определим, являются ли они точками минимума или максимума функции.

2. Вычислим вторую производную функции: y'' = 6x + 12. С помощью знаков второй производной определим выпуклость и вогнутость графика функции.

3. Найдем точки пересечения функции с осями координат, решив уравнение y = 0.

4. Построим график функции y = x^3 + 6x^2 + 9x, используя полученную информацию о точках экстремума, выпуклости и вогнутости графика, а также точках пересечения с осями координат.

График функции y = x^3 + 6x^2 + 9x будет представлять собой кубическую параболу, которая может иметь точки минимума или максимума в зависимости от значений корней уравнения 3x^2 + 12x + 9 = 0. Проведя анализ и построив график функции, можно увидеть ее поведение и особенности.

Для исследования функции ( y = x^3 + 6x^2 + 9x ) начнем с нахождения основных характеристик: область определения, точки пересечения с осями, экстремумы, интервалы монотонности и выпуклости.

1. Область определения

Функция полиномиальная, поэтому её область определения – все действительные числа: ( D(f) = (-\infty, \infty) ).

2. Точки пересечения с осями

Ось Y: Подставим ( x = 0 ): [ y = 0^3 + 6 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 = 0 ] Точка пересечения с осью Y: ( (0, 0) ).

Ось X: Решим уравнение ( x^3 + 6x^2 + 9x = 0 ). [ x(x^2 + 6x + 9) = 0 ] [ x(x + 3)^2 = 0 ] Таким образом, точки пересечения с осью X: ( x = 0 ) и ( x = -3 ) (кратности 2).

3. Производная и критические точки

Найдем первую производную: [ y' = 3x^2 + 12x + 9 ] [ y' = 3(x^2 + 4x + 3) = 3(x + 1)(x + 3) ]

Производная обращается в ноль при ( x = -1 ) и ( x = -3 ). Эти точки являются кандидатами на экстремумы.

4. Интервалы монотонности

Знаки производной в интервалах:

• ( (-\infty, -3) ): ( y' > 0 ) (функция возрастает)
• ( (-3, -1) ): ( y' < 0 ) (функция убывает)
• ( (-1, \infty) ): ( y' > 0 ) (функция возрастает)

Таким образом, ( x = -3 ) – точка локального максимума, ( x = -1 ) – точка локального минимума.

5. Вторая производная и интервалы выпуклости

[ y'' = 6x + 12 ] [ y'' = 0 \text{ при } x = -2 ]

Знаки второй производной:

• ( (-\infty, -2) ): ( y'' < 0 ) (функция выпукла вниз)
• ( (-2, \infty) ): ( y'' > 0 ) (функция выпукла вверх)

Точка ( x = -2 ) является точкой перегиба.

Построение графика

График функции ( y = x^3 + 6x^2 + 9x ) можно начертить, учитывая:

• Пересечение с осями: ( (0, 0) ), ( (-3, 0) )
• Промежутки возрастания и убывания
• Точки экстремумов: максимум в ( x = -3 ), минимум в ( x = -1 )
• Точка перегиба: ( x = -2 )
• Поведение на бесконечности: ( \lim{x \to \infty} y = \infty ), ( \lim{x \to -\infty} y = -\infty )

График начинает снизу, поднимается до максимума в ( x = -3 ), спускается до минимума в ( x = -1 ), проходит через точку перегиба при ( x = -2 ) и далее возрастает вверх.

Для исследования функции y = x^3+6x^2+9x нужно найти её производные, точки экстремума, точки перегиба и построить график функции.