Исследовать функцию f(x)=x^3-6x^2+9x-3 и построить график

Для исследования данной функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3 сначала найдем ее производные:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 f''(x) = 6x - 12

Далее найдем точки экстремума, приравняв первую производную к нулю и найдя корни уравнения:

3x^2 - 12x + 9 = 0 x^2 - 4x + 3 = 0 (x - 1)(x - 3) = 0 x1 = 1, x2 = 3

Таким образом, точки экстремума функции f(x) находятся при x = 1 и x = 3.

Теперь найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю и найдя их корни:

6x - 12 = 0 x = 2

Точка перегиба функции f(x) находится при x = 2.

Далее построим график функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3, используя найденные точки экстремума и перегиба. График будет иметь форму кубической параболы, проходящей через эти точки.

(График не может быть физически показан в текстовом формате, но вы можете построить его в программе для построения графиков, например, в программе GeoGebra или в онлайн-калькуляторе графиков).

Для исследования функции ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3 ) необходимо провести несколько этапов анализа, включая нахождение производных, критических точек, исследования на монотонность, выпуклость и вогнутость, а также построение графика функции.

1. Найдем первую производную

Первая производная функции ( f(x) ) используется для нахождения критических точек и исследования монотонности.

[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 ]

2. Найдем критические точки

Критические точки находятся из условия ( f'(x) = 0 ):

[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение:

[ x^2 - 4x + 3 = 0 ]

Это уравнение можно разложить на множители:

[ (x - 1)(x - 3) = 0 ]

Следовательно, критические точки: ( x = 1 ) и ( x = 3 ).

3. Исследуем функцию на монотонность

Для исследования монотонности функции, рассмотрим знаки первой производной на интервалах, разделенных критическими точками: ((-\infty, 1)), ((1, 3)), ((3, \infty)).

• На интервале ((-\infty, 1)), выберем тестовую точку, например, (x = 0):

  [ f'(0) = 3 \times 0^2 - 12 \times 0 + 9 = 9 > 0 ]

  На этом интервале функция возрастает.

• На интервале ((1, 3)), выберем тестовую точку, например, (x = 2):

  [ f'(2) = 3 \times 2^2 - 12 \times 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 ]

  На этом интервале функция убывает.

• На интервале ((3, \infty)), выберем тестовую точку, например, (x = 4):

  [ f'(4) = 3 \times 4^2 - 12 \times 4 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 ]

  На этом интервале функция возрастает.

4. Найдем вторую производную

Вторая производная позволяет исследовать выпуклость и вогнутость функции:

[ f''(x) = 6x - 12 ]

5. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость

Найдем точки перегиба из условия ( f''(x) = 0 ):

[ 6x - 12 = 0 \implies x = 2 ]

Рассмотрим знаки второй производной на интервалах ((-\infty, 2)) и ((2, \infty)):

• На интервале ((-\infty, 2)), выберем тестовую точку, например, (x = 0):

  [ f''(0) = 6 \times 0 - 12 = -12 < 0 ]

  На этом интервале функция вогнута.

• На интервале ((2, \infty)), выберем тестовую точку, например, (x = 3):

  [ f''(3) = 6 \times 3 - 12 = 18 - 12 = 6 > 0 ]

  На этом интервале функция выпукла.

6. Построение графика

Теперь у нас есть вся необходимая информация для построения графика функции:

• Критические точки: ( x = 1 ) (максимум), ( x = 3 ) (минимум).
• Точка перегиба: ( x = 2 ).
• Интервалы возрастания: ((-\infty, 1)) и ((3, \infty)).
• Интервал убывания: ((1, 3)).
• Вогнутость на ((-\infty, 2)), выпуклость на ((2, \infty)).

На графике функция сначала возрастает до точки ( x = 1 ), затем убывает до точки ( x = 3 ), затем снова возрастает. В точке ( x = 2 ) происходит смена выпуклости.

Используя эти данные, вы сможете визуализировать график функции ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3 ).