Интеграл от1до2 (x+2/x)dx вычислите
Интеграл от1до2 (x+2/x)dx вычислите
Для вычисления данного интеграла сначала разложим выражение под знаком интеграла на две части: x и 2/x. Затем произведем интегрирование каждой из частей по отдельности.
Интеграл от x dx равен (x^2)/2, а интеграл от 2/x dx равен 2ln|x|.
После этого сложим полученные результаты: (x^2)/2 + 2ln|x|.
Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования (2 и 1 соответственно) и вычислим разность значений функции в этих точках:
При подстановке верхнего предела (2) получим: (2^2)/2 + 2ln|2| = 2 + 2ln2
При подстановке нижнего предела (1) получим: (1^2)/2 + 2ln|1| = 0 + 0
Итак, интеграл от 1 до 2 (x + 2/x) dx равен:
2 + 2ln2 - 0 - 0 = 2 + 2ln2.
Для вычисления определенного интеграла (\int_{1}^{2} \left(x + \frac{2}{x}\right) \, dx), нужно сначала найти неопределенный интеграл, а затем использовать формулу Ньютона-Лейбница.
Найдем неопределенный интеграл (\int \left(x + \frac{2}{x}\right) \, dx):
[ \int \left(x + \frac{2}{x}\right) \, dx = \int x \, dx + \int \frac{2}{x} \, dx ]
Таким образом, неопределенный интеграл будет:
[ \int \left(x + \frac{2}{x}\right) \, dx = \frac{x^2}{2} + 2 \ln |x| + C ]
где (C) — произвольная постоянная.
Вычислим определенный интеграл (\int_{1}^{2} \left(x + \frac{2}{x}\right) \, dx) с помощью формулы Ньютона-Лейбница:
[ \left[ \frac{x^2}{2} + 2 \ln |x| \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^2}{2} + 2 \ln |2| \right) - \left( \frac{1^2}{2} + 2 \ln |1| \right) ]
Подставим значения:
Для (x = 2):
[ \frac{2^2}{2} + 2 \ln 2 = \frac{4}{2} + 2 \ln 2 = 2 + 2 \ln 2 ]
Для (x = 1):
[ \frac{1^2}{2} + 2 \ln 1 = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2} ]
Теперь найдем разность:
[ (2 + 2 \ln 2) - \frac{1}{2} = 2 + 2 \ln 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} + 2 \ln 2 = \frac{3}{2} + 2 \ln 2 ]
Таким образом, значение интеграла равно (\frac{3}{2} + 2 \ln 2).
