Имеет ли корни уравнение а 3 = а : а?

Да, уравнение а^3 = а : а имеет корни.

Для того чтобы найти корни уравнения а^3 = а : а, нужно сначала преобразовать его.

Поскольку а : а = 1 (при условии что а ≠ 0), уравнение можно записать как а^3 = 1.

Теперь мы видим, что данное уравнение эквивалентно уравнению а = 1^(1/3), что равнозначно а = 1.

Таким образом, корень уравнения а^3 = а : а равен 1.

Ответ: уравнение имеет один корень, а именно 1.

Мы рассмотрим уравнение ( a^3 = \frac{a}{a} ).

Прежде всего, давайте упростим правую часть уравнения: (\frac{a}{a}). Это выражение определено и равно 1 только при условии, что ( a \neq 0 ). Если ( a = 0 ), то (\frac{a}{a}) не определено, так как деление на ноль невозможно.

Итак, уравнение можно переписать как:

[ a^3 = 1 ]

Теперь мы решаем уравнение ( a^3 = 1 ). Это уравнение имеет следующие корни:

1. Реальный корень: ( a = 1 ). Это очевидный корень, поскольку ( 1^3 = 1 ).

2. Комплексные корни: Уравнение ( a^3 = 1 ) также имеет два комплексных корня, которые можно найти, используя формулу для корней из единицы. Корни из единицы на комплексной плоскости равномерно расположены на окружности радиуса 1 и для кубического корня из единицы они представляют собой вершины равностороннего треугольника.

   • Второй корень: ( a = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i )
   • Третий корень: ( a = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i )

Эти корни соответствуют решениям уравнения ( a^3 = 1 ) в комплексной плоскости.

Таким образом, уравнение ( a^3 = \frac{a}{a} ) имеет три корня: один действительный (( a = 1 )) и два комплексных (( a = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i ) и ( a = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i )), при условии, что ( a \neq 0 ).