Докажите тождество (sin a - cos a)^2=1-sin2a

Чтобы доказать тождество ((\sin a - \cos a)^2 = 1 - \sin 2a), мы начнем с левой части и преобразуем ее, чтобы получить правую часть.

1. Распишем левую часть:

   [ (\sin a - \cos a)^2 = (\sin a - \cos a)(\sin a - \cos a) ]

   Применим формулу для квадрата разности:

   [ (\sin a - \cos a)^2 = \sin^2 a - 2\sin a \cos a + \cos^2 a ]

2. Используем основное тригонометрическое тождество:

   Известно, что (\sin^2 a + \cos^2 a = 1). Подставим это в выражение:

   [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]

   Следовательно,

   [ \sin^2 a - 2\sin a \cos a + \cos^2 a = 1 - 2\sin a \cos a ]

3. Перейдем к правой части:

   В правой части у нас (1 - \sin 2a). Напомним, что (\sin 2a = 2\sin a \cos a), согласно формуле двойного угла.

   Тогда:

   [ 1 - \sin 2a = 1 - 2\sin a \cos a ]

4. Сравним преобразованные выражения:

   Мы получили, что:

   [ (\sin a - \cos a)^2 = 1 - 2\sin a \cos a ]

   и

   [ 1 - \sin 2a = 1 - 2\sin a \cos a ]

   Оба выражения равны, следовательно, тождество доказано:

   [ (\sin a - \cos a)^2 = 1 - \sin 2a ]

Таким образом, данное тождество верно.

Для доказательства данного тождества начнем с левой части выражения:

(sin a - cos a)^2 = (sin a - cos a)(sin a - cos a) = sin^2a - cos^2a - 2sinacos a = sin^2a - cos^2a - 2sinacos a = sin^2a - cos^2a - 2sinacos a = sin^2a - cos^2a - 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = sin^2a - cos^2a + 2sinacos a = 1 - sin^2a

Таким образом, левая часть тождества равна правой части, что доказывает верность данного утверждения.

(sin a - cos a)^2 = sin^2a - 2sinacos a + cos^2a = 1 - cos^2a - 2sinacos a + cos^2a = 1 - 2sinacos a = 1 - sin2a