Докажите или опровергните утверждения 1)если число делится на произведение двух чисел,то оно делится и на каждое из этих чисел. 2)если число делится на два других числа,то оно делится и на их произведение. 3)если произведение двух чисел делится на данное число,то и каждый множитель делится на это число. ответ обоснуйте.
1) Докажем утверждение: если число делится на произведение двух чисел, то оно делится и на каждое из этих чисел.
Предположим, что число (a) делится на произведение двух чисел (b) и (c). Это означает, что существует целое число (k), такое что (a = b \cdot c \cdot k).
Если мы разложим число (a) на простые множители, то получим (a = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{m_n}), где (p_i) - простые множители числа (a), а (m_i) - их степени.
Так как (a = b \cdot c \cdot k), то (p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{m_n} = (p1^{m{b1}} \cdot p2^{m{b2}} \cdot \ldots \cdot pn^{m{bn}}) \cdot (p1^{m{c1}} \cdot p2^{m{c2}} \cdot \ldots \cdot pn^{m{cn}}) \cdot k).
Из этого выражения видно, что каждый простой множитель числа (a) должен быть либо в числе (b), либо в числе (c), так как иначе произведение простых множителей не совпадет с произведением простых множителей числа (a).
Таким образом, если число делится на произведение двух чисел, то оно делится и на каждое из этих чисел.
2) Данное утверждение опровергается примером. Рассмотрим число 6, которое делится на 2 и 3. Однако 6 не делится на произведение 2 и 3, которое равно 6.
3) Докажем утверждение: если произведение двух чисел делится на данное число, то и каждый множитель делится на это число.
Предположим, что произведение двух чисел (b) и (c) делится на число (a). Это означает, что существует целое число (k), такое что (b \cdot c = a \cdot k).
Если число (b) не делится на число (a), то это означает, что существует простой множитель (p), который присутствует в разложении числа (b), но отсутствует в разложении числа (a). Так как произведение (b \cdot c) делится на (a), то (p) должен быть также множителем числа (c). Но это противоречит тому, что (p) не является множителем числа (a).
Таким образом, если произведение двух чисел делится на данное число, то и каждый множитель делится на это число.
1) Утверждение верно. Если число (a) делится на произведение двух чисел (b) и (c), то это означает, что (a = b \cdot c \cdot k), где (k) - некоторое целое число. Таким образом, (a) делится и на (b), и на (c). 2) Утверждение неверно. Например, число 6 делится на 2 и на 3, но не делится на их произведение (6). 3) Утверждение верно. Если произведение двух чисел (b) и (c) делится на число (a), то это означает, что (b \cdot c = a \cdot k), где (k) - некоторое целое число. Следовательно, и (b), и (c) делятся на (a).
Давайте рассмотрим каждое из утверждений по отдельности и дадим развернутый ответ.
1) Если число делится на произведение двух чисел, то оно делится и на каждое из этих чисел.
Это утверждение ложно. Чтобы его опровергнуть, приведем контрпример. Пусть ( a = 6 ), ( b = 2 ), ( c = 3 ). Тогда произведение ( b \cdot c = 2 \cdot 3 = 6 ). Число ( a = 6 ) делится на ( 6 ) (то есть на произведение ( b ) и ( c )), но оно не обязательно делится на ( b = 2 ) и ( c = 3 ) в общем случае (в этом конкретном примере делится, но это частный случай). Рассмотрим другой пример: пусть ( a = 12 ), ( b = 2 ), ( c = 6 ). Здесь ( b \cdot c = 12 ), и ( a ) делится на ( 12 ), но не делится на ( 6 ).
2) Если число делится на два других числа, то оно делится и на их произведение.
Это утверждение также ложно. Рассмотрим контрпример. Пусть ( a = 12 ), ( b = 2 ), ( c = 6 ). Число ( a = 12 ) делится на ( b = 2 ) и на ( c = 6 ), но произведение ( b \cdot c = 2 \cdot 6 = 12 ) делится на ( a ), но не всегда будет так. Рассмотрим другой пример: пусть ( a = 30 ), ( b = 6 ), ( c = 10 ). Число ( a = 30 ) делится на ( b = 6 ) и ( c = 10 ), но ( b \cdot c = 60 ), а ( a ) не делится на ( 60 ).
3) Если произведение двух чисел делится на данное число, то и каждый множитель делится на это число.
Это утверждение ложно. Чтобы его опровергнуть, приведем контрпример. Пусть ( a = 6 ), ( b = 2 ), ( c = 3 ). Тогда ( b \cdot c = 2 \cdot 3 = 6 ), и это произведение делится на ( a = 6 ). Однако ни ( b = 2 ), ни ( c = 3 ) не делятся на ( a = 6 ).
Таким образом, все три утверждения являются ложными, и это обосновано приведенными контрпримерами.
