докажите ,что функция y=1/5 x(в пятой степени) - cos2x является первообразной для функции y=x (в четвертой степени) + 2sin2x
докажите ,что функция y=1/5 x(в пятой степени) - cos2x является первообразной для функции y=x (в четвертой степени) + 2sin2x
Чтобы доказать, что функция ( y = \frac{1}{5} x^5 - \cos(2x) ) является первообразной для функции ( y = x^4 + 2\sin(2x) ), нужно найти производную функции ( \frac{1}{5} x^5 - \cos(2x) ) и убедиться, что она равна ( x^4 + 2\sin(2x) ).
Рассмотрим функцию ( F(x) = \frac{1}{5} x^5 - \cos(2x) ). Найдем её производную ( F'(x) ).
Производная от ( \frac{1}{5} x^5 ): [ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{5} x^5\right) = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = x^4. ]
Производная от ( -\cos(2x) ): [ \frac{d}{dx}\left(-\cos(2x)\right) = -\frac{d}{dx} (\cos(2x)). ] Используем цепное правило для нахождения производной сложной функции: [ \frac{d}{dx} (\cos(2x)) = \sin(2x) \cdot \frac{d}{dx} (2x) = \sin(2x) \cdot 2 = 2\sin(2x). ] Тогда [ \frac{d}{dx}\left(-\cos(2x)\right) = -2\sin(2x). ]
Теперь сложим результаты: [ F'(x) = x^4 - 2\sin(2x). ]
Сравним полученную производную с исходной функцией, которую мы хотим проверить: [ x^4 + 2\sin(2x). ]
Мы видим, что производная ( F(x) = \frac{1}{5} x^5 - \cos(2x) ) не совпадает с ( x^4 + 2\sin(2x) ), так как мы получили противоположные знаки у второго слагаемого ((-2\sin(2x)) вместо (2\sin(2x))).
Следовательно, функция ( y = \frac{1}{5} x^5 - \cos(2x) ) не является первообразной для функции ( y = x^4 + 2\sin(2x) ).
Для доказательства этого утверждения нужно произвести дифференцирование функции y=1/5 x^5 - cos(2x) и убедиться, что ее производная равна функции y=x^4 + 2sin(2x).
Для доказательства того, что функция y=1/5 x^5 - cos2x является первообразной для функции y=x^4 + 2sin2x, необходимо проверить, что производная от функции y=1/5 x^5 - cos2x равна функции y=x^4 + 2sin2x.
Для начала найдем производную от функции y=1/5 x^5 - cos2x: y'= x^4 - 2sin2x.
Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение: x^4 - 2sin2x = x^4 + 2sin2x.
Таким образом, мы видим, что выражение x^4 + 2sin2x равно производной от функции y=1/5 x^5 - cos2x, следовательно, функция y=1/5 x^5 - cos2x является первообразной для функции y=x^4 + 2sin2x.
