Дмитрий взял кредит в банке на сумму 270200 руб-
лей. Схема выплат кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов
оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий переводит в банк свой очередной платёж. Известно,
что Дмитрий погасил кредит за три года, причём каждый его следующий платёж был ровно
втрое больше предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз?
Дмитрий заплатил в первый раз 10000 рублей.
Для решения задачи используем условие, что каждый год банк увеличивает оставшуюся сумму долга на 10%, и Дмитрий каждый год вносит платёж, причём каждый следующий платёж в три раза больше предыдущего. Пусть первый платёж Дмитрия равен ( x ) рублей.
Следовательно, второй платёж будет равен ( 3x ) рублей, а третий платёж — ( 9x ) рублей.
В конце первого года долг увеличивается на 10%, становясь ( 270200 \times 1.1 = 297220 ) рублей. Затем Дмитрий вносит первый платёж ( x ), и остаток долга составляет ( 297220 - x ) рублей.
В конце второго года оставшийся долг снова увеличивается на 10%, становясь ( (297220 - x) \times 1.1 = 326942 - 1.1x ) рублей. Дмитрий вносит второй платёж ( 3x ), и остаток долга составляет ( 326942 - 1.1x - 3x = 326942 - 4.1x ) рублей.
В конце третьего года оставшийся долг увеличивается ещё на 10%, получаясь ( (326942 - 4.1x) \times 1.1 = 359636.2 - 4.51x ) рублей. Затем Дмитрий вносит третий платёж ( 9x ), и остаток долга составляет ( 359636.2 - 4.51x - 9x = 359636.2 - 13.51x ) рублей.
Из условия известно, что кредит полностью погашен за три года, следовательно, остаток долга после третьего платежа равен 0:
[ 359636.2 - 13.51x = 0 ]
Отсюда находим ( x ):
[ 13.51x = 359636.2 ] [ x = \frac{359636.2}{13.51} \approx 26637 ] рублей.
Таким образом, первый платёж Дмитрия составил примерно 26637 рублей.
Для решения этой задачи нам нужно найти первый платеж Дмитрия. Для этого можно воспользоваться формулой для суммы геометрической прогрессии:
[ S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} ]
где ( S_n ) - сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии, ( a_1 ) - первый член прогрессии, ( q ) - знаменатель прогрессии.
В данной задаче у нас геометрическая прогрессия, где первый член будет первый платеж Дмитрия, знаменатель - 3 (так как каждый следующий платеж втрое больше предыдущего), и сумма платежей за 3 года равна сумме кредита, то есть 270200 рублей.
Таким образом, у нас есть уравнение:
[ a_1 \frac{1 - 3^3}{1 - 3} = 270200 ]
[ a_1 \frac{1 - 27}{-2} = 270200 ]
[ a_1 \frac{-26}{-2} = 270200 ]
[ a_1 = 270200 \times \frac{-2}{26} ]
[ a_1 = 270200 \times \frac{-1}{13} ]
[ a_1 = -20800 ]
Итак, Дмитрий заплатил в первый раз 20800 рублей.
