Даны точки М1(3;-1;2) М2(4;-2;-1) составить уравнение плоскости проходящей через точку М1 перпендикулярно...

Для составления уравнения плоскости, проходящей через точку М1 и перпендикулярной вектору М1М2, нам необходимо найти нормальный вектор к этой плоскости.

Вектор М1М2 можно найти как разность координат точек М1 и М2: М1М2 = (4 - 3; -2 + 1; -1 - 2) = (1; -1; -3)

Теперь нормальный вектор к плоскости будет являться перпендикуляром к вектору М1М2, то есть его координаты будут обратные и противоположные: n = (-1; 1; 3)

Уравнение плоскости в общем виде имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0

Так как плоскость проходит через точку М1(3; -1; 2), то подставим координаты этой точки в уравнение: A3 + B(-1) + C*2 + D = 0

Для определения коэффициентов A, B, C и D нам необходимо также использовать нормальный вектор: A(-1) + B1 + C*3 = 0

Подставив координаты нормального вектора, получим систему уравнений: -3A + B + 3C = 0 3A - B + 2C + D = 0

Решив данную систему уравнений, получим значения коэффициентов: A = -1, B = -3, C = 1, D = -8

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; -1; 2) и перпендикулярной вектору М1М2, будет иметь вид: -x - 3y + z - 8 = 0

Построить данную плоскость можно, используя полученные коэффициенты уравнения и точку М1(3; -1; 2) в программе для работы с трехмерной графикой, например, в программе Geogebra.

Для решения этой задачи начнем с нахождения вектора ( \vec{M_1M_2} ), который будет направляющим вектором для плоскости, проходящей через точку ( M_1 ) и перпендикулярной вектору ( \vec{M_1M_2} ).

1. Найдем вектор ( \vec{M_1M_2} ): [ \vec{M_1M_2} = M_2 - M_1 = (4 - 3, -2 + 1, -1 - 2) = (1, -3, -3) ] Этот вектор задает направление от ( M_1 ) к ( M_2 ) и будет нормальным вектором плоскости.

2. Уравнение плоскости в пространстве, проходящей через точку ( M_1(3, -1, 2) ) и перпендикулярной вектору ( \vec{n} = (1, -3, -3) ) можно записать в форме: [ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 ] где ( (A, B, C) ) – координаты нормального вектора ( \vec{n} ), а ( (x_0, y_0, z_0) ) – координаты точки ( M_1 ). Подставляя данные, получаем: [ 1(x - 3) - 3(y + 1) - 3(z - 2) = 0 ] Раскрываем скобки: [ x - 3 - 3y - 3 - 3z + 6 = 0 ] Упрощаем: [ x - 3y - 3z = 0 ]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку ( M_1 ) и перпендикулярной вектору ( \vec{M_1M_2} ), имеет вид: [ x - 3y - 3z = 0 ]

Для построения плоскости в пространстве можно выбрать несколько точек, удовлетворяющих этому уравнению, например, найдя несколько значений ( x, y, z ), которые удовлетворяют уравнению плоскости, и затем нарисовать плоскость в трехмерной системе координат, соединив эти точки.