Даны точки А(5,-2,1) и В(-3,4,7) а)найдите координаты середины отрезка АВ б)найдите координаты точки...

Давайте решим поставленные задачи по порядку.

1. Задача про точки А(5,-2,1) и В(-3,4,7)

а) Чтобы найти координаты середины отрезка АВ, воспользуемся формулой: [ M(x, y, z) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) ] где ( M ) - середина отрезка, (A(x_1, y_1, z_1)) и (B(x_2, y_2, z_2)).

Подставляем координаты точек А и В: [ M = \left(\frac{5 + (-3)}{2}, \frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 + 7}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}, \frac{8}{2}\right) = (1, 1, 4) ]

б) Если точка А — середина отрезка СВ, то координаты точки С можно найти, зная, что: [ A = \left(\frac{x_C + x_B}{2}, \frac{y_C + y_B}{2}, \frac{z_C + z_B}{2}\right) ] Отсюда для каждой координаты: [ x_C = 2x_A - x_B, \quad y_C = 2y_A - y_B, \quad z_C = 2z_A - z_B ]

Подставляем известные значения: [ x_C = 25 - (-3) = 10 + 3 = 13 ] [ y_C = 2(-2) - 4 = -4 - 4 = -8 ] [ z_C = 2*1 - 7 = 2 - 7 = -5 ] Таким образом, точка С(13, -8, -5).

2. Задача про векторы а(2,-6,3) и b(-1,2,-2)

Сначала найдем вектор ( \mathbf{a} + \mathbf{b} ): [ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (2 - 1, -6 + 2, 3 - 2) = (1, -4, 1) ]

Модуль вектора ( \mathbf{v} = (x, y, z) ) вычисляется по формуле: [ |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} ]

[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} ]

[ |\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 ] [ |\mathbf{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 ]

[ |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| = 7 + 3 = 10 ]

3. Задача про точки А(2,1,-8), В(1,-5,0), С(8,1,-4)

а) Чтобы доказать, что треугольник АВС равнобедренный, надо показать, что длины двух его сторон равны. [ \mathbf{AB} = \sqrt{(1-2)^2 + (-5-1)^2 + (0+8)^2} = \sqrt{1 + 36 + 64} = \sqrt{101} ] [ \mathbf{BC} = \sqrt{(8-1)^2 + (1+5)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{49 + 36 + 16} = \sqrt{101} ] [ \mathbf{CA} = \sqrt{(8-2)^2 + (1-1)^2 + (-4+8)^2} = \sqrt{36 + 0 + 16} = \sqrt{52} ]

Так как ( \mathbf{AB} = \mathbf{BC} ), треугольник АВС равнобедренный.

б) Средняя линия, соединяющая середины сторон AB и BC, будет иметь длину равную половине длины стороны AC: [ \text{Длина средней линии} = \frac{1}{2} \times \sqrt{52} = \frac{\sqrt{52}}{2} = \frac{\sqrt{4 \times 13}}{2} = \sqrt{13} ]

Таким образом, длина средней линии равна ( \sqrt{13} ).

а) а) Найдем координаты середины отрезка АВ. Для этого нужно найти среднее арифметическое каждой координаты точек А и В: Середина по x: (5 + (-3)) / 2 = 2 / 2 = 1 Середина по y: (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1 Середина по z: (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4

Итак, координаты середины отрезка АВ равны (1, 1, 4).

б) б) Найдем координаты точки C, если точка А - середина отрезка СВ. Для этого нужно воспользоваться формулой для нахождения середины отрезка: Середина по x: (xA + xB) / 2 = xC Середина по y: (yA + yB) / 2 = yC Середина по z: (zA + zB) / 2 = zC

Подставляем значения точек А и В: Середина по x: (5 + xB) / 2 = xC Середина по y: (-2 + yB) / 2 = yC Середина по z: (1 + zB) / 2 = zC

Так как точка А - середина отрезка СВ, то xC = 5, yC = -2, zC = 1. Итак, координаты точки C равны (5, -2, 1).

2) Найдем |а+b|: а + b = (2 + (-1), -6 + 2, 3 + (-2)) = (1, -4, 1) |а+b| = √(1^2 + (-4)^2 + 1^2) = √(1 + 16 + 1) = √18

Найдем |а| + |b|: |а| = √(2^2 + (-6)^2 + 3^2) = √(4 + 36 + 9) = √49 = 7 |b| = √((-1)^2 + 2^2 + (-2)^2) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3 |а| + |b| = 7 + 3 = 10

3) а) Для того чтобы доказать, что треугольник АВС равнобедренный, нужно проверить равенство двух сторон треугольника. Если стороны равны, то треугольник равнобедренный. Длины сторон: AB = √((1-(-3))^2 + (1-4)^2 + (4-7)^2) = √16 + 9 + 9 = √34 AC = √((8-2)^2 + (1-1)^2 + (-4-(-8))^2) = √36 + 0 + 16 = √52 BC = √((8-1)^2 + (1-(-5))^2 + (-4-0)^2) = √49 + 36 + 16 = √101

Так как AB = AC, то треугольник АВС равнобедренный.

б) Длина средней линии треугольника соединяющей середины боковых сторон равна половине длины основания треугольника. Длина основания треугольника можно найти как длину отрезка между точками, соответствующими серединам двух сторон треугольника: Середина отрезка AB: ((2+1)/2, (1-5)/2, (-8+0)/2) = (1.5, -2, -4) Середина отрезка AC: ((2+8)/2, (1+1)/2, (-8-4)/2) = (5, 1, -6)

Длина средней линии треугольника: √((1.5-5)^2 + (-2-1)^2 + (-4+(-6))^2) = √(14.5 + 9 + 4) = √27.5