Даны числа z1= - 1 +3 i, z2= 4 + 5i. Вычислите:
а) модули чисел z1 и z2;
б) сумму чисел z1 и z2;
в) разность чисел z1 и z2;
г) произведение чисел z1 и z2.
РАСПИСАТЬ ПОДРОБНО! ОЧЕНЬ ВАЖНО!
Даны числа z1= - 1 +3 i, z2= 4 + 5i. Вычислите:
а) модули чисел z1 и z2;
б) сумму чисел z1 и z2;
в) разность чисел z1 и z2;
г) произведение чисел z1 и z2.
РАСПИСАТЬ ПОДРОБНО! ОЧЕНЬ ВАЖНО!
а) Модуль числа z1 можно найти по формуле |z1| = √(Re(z1)^2 + Im(z1)^2), где Re(z1) - действительная часть числа z1, Im(z1) - мнимая часть числа z1. Для числа z1: Re(z1) = -1, Im(z1) = 3. |z1| = √((-1)^2 + (3)^2) = √(1 + 9) = √10.
Модуль числа z2 можно найти аналогично: Для числа z2: Re(z2) = 4, Im(z2) = 5. |z2| = √(4^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41.
б) Сумма чисел z1 и z2: z1 + z2 = (-1 + 3i) + (4 + 5i) = (4 - 1) + (3 + 5)i = 3 + 8i.
в) Разность чисел z1 и z2: z1 - z2 = (-1 + 3i) - (4 + 5i) = (-1 - 4) + (3 - 5)i = -5 - 2i.
г) Произведение чисел z1 и z2: z1 z2 = (-1 + 3i)(4 + 5i) = -4 - 5i + 12i + 15i^2 = -4 + 7i + 15*(-1) = -4 + 7i - 15 = -19 + 7i.
а) Модуль комплексного числа z = a + bi вычисляется по формуле |z| = √(a^2 + b^2). Для числа z1 = -1 + 3i: |z1| = √((-1)^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √10. Для числа z2 = 4 + 5i: |z2| = √(4^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41.
б) Сумма комплексных чисел z1 и z2 равна (a1 + a2) + (b1 + b2)i. Для чисел z1 и z2: (-1 + 4) + (3 + 5)i = 3 + 8i.
в) Разность комплексных чисел z1 и z2 равна (a1 - a2) + (b1 - b2)i. Для чисел z1 и z2: (-1 - 4) + (3 - 5)i = -5 - 2i.
г) Произведение комплексных чисел z1 и z2 вычисляется по формуле (a1 a2 - b1 b2) + (a1 b2 + a2 b1)i. Для чисел z1 и z2: (-1 4 - 3 5) + (-1 5 + 3 4)i = (-4 - 15) + (-5 + 12)i = -19 - 5i.
Конечно, давай разберем все пункты подробно.
Модуль комплексного числа ( z = a + bi ) вычисляется по формуле: [ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ]
Для числа ( z_1 = -1 + 3i ): [ |z_1| = \sqrt{(-1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} ]
Для числа ( z_2 = 4 + 5i ): [ |z_2| = \sqrt{(4)^2 + (5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} ]
Итак, модули чисел: [ |z_1| = \sqrt{10} ] [ |z_2| = \sqrt{41} ]
Сумма двух комплексных чисел ( z_1 = a + bi ) и ( z_2 = c + di ) вычисляется по формуле: [ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i ]
Для ( z_1 = -1 + 3i ) и ( z_2 = 4 + 5i ): [ z_1 + z_2 = (-1 + 4) + (3 + 5)i = 3 + 8i ]
Итак, сумма чисел: [ z_1 + z_2 = 3 + 8i ]
Разность двух комплексных чисел ( z_1 = a + bi ) и ( z_2 = c + di ) вычисляется по формуле: [ z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i ]
Для ( z_1 = -1 + 3i ) и ( z_2 = 4 + 5i ): [ z_1 - z_2 = (-1 - 4) + (3 - 5)i = -5 - 2i ]
Итак, разность чисел: [ z_1 - z_2 = -5 - 2i ]
Произведение двух комплексных чисел ( z_1 = a + bi ) и ( z_2 = c + di ) вычисляется по формуле: [ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 ]
Заметим, что ( i^2 = -1 ), поэтому формула становится: [ z_1 \cdot z_2 = ac + adi + bci - bd ]
Для ( z_1 = -1 + 3i ) и ( z_2 = 4 + 5i ): [ z_1 \cdot z_2 = (-1) \cdot 4 + (-1) \cdot 5i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot 5i ] [ z_1 \cdot z_2 = -4 - 5i + 12i + 15i^2 ] [ z_1 \cdot z_2 = -4 - 5i + 12i + 15(-1) ] [ z_1 \cdot z_2 = -4 - 5i + 12i - 15 ] [ z_1 \cdot z_2 = -19 + 7i ]
Итак, произведение чисел: [ z_1 \cdot z_2 = -19 + 7i ]
Надеюсь, это поможет!
