Дано: А(-10;5), В(2;-1) - концы диаметра окружности. а) найти координаты центра окружности. б) запишите уравнение этой окружности. в) принадлежит ли этой окружности точка М (5;2)?
Дано: А(-10;5), В(2;-1) - концы диаметра окружности. а) найти координаты центра окружности. б) запишите уравнение этой окружности. в) принадлежит ли этой окружности точка М (5;2)?
а) Чтобы найти координаты центра окружности, нам нужно найти середину отрезка, соединяющего точки A и B. Для этого используем формулу нахождения середины отрезка:
x = (x₁ + x₂) / 2 y = (y₁ + y₂) / 2
где x₁, y₁ - координаты точки A, x₂, y₂ - координаты точки B.
Подставляем значения: x = (-10 + 2) / 2 = -4 y = (5 - 1) / 2 = 2
Ответ: координаты центра окружности C(-4;2).
б) Теперь, чтобы найти уравнение окружности, воспользуемся формулой окружности в общем виде:
(x - a)² + (y - b)² = r²
где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус.
Мы уже знаем координаты центра окружности C(-4;2). Теперь найдем радиус, который равен половине длины диаметра:
r = √((-10 - 2)² + (5 + 1)²) / 2 r = √(12² + 6²) / 2 r = √(144 + 36) / 2 r = √180 / 2 r = √(36 * 5) / 2 r = 6√5 / 2 r = 3√5
Подставляем все значения в уравнение окружности:
(x + 4)² + (y - 2)² = (3√5)² (x + 4)² + (y - 2)² = 45
Ответ: уравнение окружности (x + 4)² + (y - 2)² = 45.
в) Чтобы проверить, принадлежит ли точка М(5;2) окружности, подставим ее координаты в уравнение окружности:
(5 + 4)² + (2 - 2)² = 45 9² + 0 = 45 81 = 45
Утверждение ложное, так как 81 не равно 45. Следовательно, точка М(5;2) не принадлежит данной окружности.
а) Координаты центра окружности: (-4.0; 2.0) б) Уравнение окружности: (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 34 в) Точка М (5;2) не принадлежит этой окружности.
Для решения задачи, связанной с окружностью, у которой даны концы диаметра, воспользуемся базовыми геометрическими понятиями.
Центр окружности, описанной вокруг диаметра, находится в середине отрезка, соединяющего точки A и B. Чтобы найти середину отрезка, нужно использовать формулы для нахождения средней точки между двумя точками:
[ x_c = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-10 + 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4 ]
[ y_c = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 ]
Таким образом, координаты центра окружности ( C(-4; 2) ).
Радиус окружности равен половине длины диаметра. Сначала найдем длину диаметра, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(2 + 10)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{12^2 + (-6)^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} ]
Радиус ( r ) будет равен:
[ r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{180}}{2} = \frac{\sqrt{36 \times 5}}{2} = \frac{6 \sqrt{5}}{2} = 3 \sqrt{5} ]
Уравнение окружности с центром в точке ( C(-4; 2) ) и радиусом ( r = 3\sqrt{5} ) будет:
[ (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = (3\sqrt{5})^2 ]
[ (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 45 ]
Чтобы проверить, принадлежит ли точка M окружности, нужно подставить её координаты в уравнение окружности и проверить равенство:
[ (5 + 4)^2 + (2 - 2)^2 = 9^2 + 0^2 = 81 ]
Так как 81 не равно 45, точка M(5; 2) не принадлежит данной окружности.
Таким образом, мы нашли координаты центра окружности, записали её уравнение и проверили принадлежность точки M окружности.
