Дана сетка 4 на 4, робот стоит в левом верхнем углу. Сколько есть способов попасть в нижний правый угол,...

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться принципом динамического программирования. Для начала создадим таблицу 4 на 4, где каждая ячейка будет отвечать за количество способов добраться до этой ячейки.

Изначально заполним первую строку и первый столбец единицами, так как робот может двигаться только вправо или вниз. Затем для каждой ячейки (i, j) вычислим количество способов добраться до нее, как сумму количества способов добраться до ячейки слева (i-1, j) и сверху (i, j-1).

Таким образом, заполнив всю таблицу, мы получим количество способов добраться до правого нижнего угла, которое и будет ответом на задачу.

Рассмотрим задачу о нахождении количества способов добраться из левого верхнего угла сетки размером 4 на 4 в нижний правый угол, если робот может двигаться только вправо или вниз.

Принцип решения

Для начала заметим, что сетка 4 на 4 имеет 5 горизонтальных и 5 вертикальных линий, что создаёт 16 клеток (4x4).

Шаги, которые нужно сделать

Роботу нужно сделать ровно 4 движения вправо и 4 движения вниз, чтобы переместиться из левого верхнего угла (0, 0) в нижний правый угол (4, 4). Это связано с тем, что ширина и высота сетки составляют 4 клетки.

Математическая модель

Задачу можно свести к задаче комбинаторики: нам нужно выбрать последовательность из 8 шагов, состоящую из 4 шагов вправо (R) и 4 шагов вниз (D).

Вычисление количества путей

Для этого используем биномиальные коэффициенты. Количество способов выбрать 4 места для движения вправо из 8 шагов равно количеству сочетаний из 8 по 4:

[ C(8, 4) = \frac{8!}{4! \cdot 4!} ]

Где:

• (8!) — факториал числа 8 (8 факториал),
• (4!) — факториал числа 4 (4 факториал).

Вычисление факториалов

Посчитаем факториалы: [ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 ] [ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 ]

Подставим значения

Теперь подставим значения в формулу: [ C(8, 4) = \frac{40320}{24 \times 24} = \frac{40320}{576} = 70 ]

Ответ

Таким образом, количество способов добраться из левого верхнего угла сетки 4 на 4 в нижний правый угол, двигаясь только вправо или вниз, равно 70.

Резюме

Для решения задачи мы использовали комбинаторный подход, посчитав количество возможных последовательностей шагов, которые ведут к цели. Метод основывается на вычислении биномиальных коэффициентов.