Дан многочлен f(x; y) = 2x^2(-1)y - 7yx^2 + 2xy^2 + 5 - 3yxy - 11y^3 + (x + y)yx - 2xyx а) приведите...

а) Приведем данный многочлен к стандартному виду, сгруппировав одночлены по степени переменных:

f(x; y) = 2x^2(-1)y - 7yx^2 + 2xy^2 + 5 - 3yxy - 11y^3 + (x + y)yx - 2xyx = -2xy^2 - 7yx^2 - 3xy^2 - 11y^3 + xyx + y^2x - 2xyx + 5 = -5xy^2 - 7yx^2 - 11y^3 + xyx + y^2x + 5

б) Для того чтобы установить, является ли данный многочлен однородным, нужно проверить, равны ли суммы степеней переменных в каждом одночлене. Если это условие выполняется, то многочлен является однородным. В данном случае:

Степени переменных в каждом одночлене: -5xy^2: x^1 y^2 = 1 + 2 = 3 -7yx^2: x^2 y^1 = 2 + 1 = 3 -11y^3: x^0 y^3 = 0 + 3 = 3 xyx: x^1 y^1 x^1 = 1 + 1 + 1 = 3 y^2x: x^1 y^2 x^0 = 1 + 2 + 0 = 3 5: x^0 y^0 = 0 + 0 = 0

Таким образом, данный многочлен является однородным.

в) Определим степень однородности многочлена. Для этого найдем максимальную сумму степеней переменных в одночленах:

Максимальная сумма степеней переменных: 3

Следовательно, степень однородности данного многочлена равна 3.

Для решения поставленных задач необходимо сначала упростить и привести данный многочлен к стандартному виду.

a) Приведение многочлена к стандартному виду

Дан многочлен:

[ f(x, y) = 2x^2(-1)y - 7yx^2 + 2xy^2 + 5 - 3yxy - 11y^3 + (x + y)yx - 2xyx ]

Сначала упростим выражение:

1. Раскроем скобки: [ 2x^2(-1)y = -2x^2y ] [ (x + y)yx = xyx + y^2x ]

2. Перепишем многочлен, учитывая эти преобразования: [ f(x, y) = -2x^2y - 7yx^2 + 2xy^2 + 5 - 3yxy - 11y^3 + xyx + y^2x - 2xyx ]

3. Упростим, группируя подобные члены:

   • Члены с ( x^2y ): (-2x^2y - 7yx^2 = -9x^2y)
   • Члены с ( xy^2 ): (2xy^2 + y^2x = 3xy^2)
   • Члены с ( xyx ): (-3yxy + xyx - 2xyx = -4xy^2)
   • Свободный член: (5)
   • Член с ( y^3 ): (-11y^3)

Таким образом, многочлен в стандартном виде будет:

[ f(x, y) = -9x^2y + 3xy^2 + 5 - 11y^3 ]

б) Однородность многочлена

Многочлен называется однородным, если все его мономы имеют одинаковую степень. Проверим каждый моном:

1. (-9x^2y): степень ( = 2 + 1 = 3 )
2. (3xy^2): степень ( = 1 + 2 = 3 )
3. (5): степень ( = 0 )
4. (-11y^3): степень ( = 3 )

Заметим, что многочлен содержит свободный член (5), который имеет степень 0, в то время как остальные мономы имеют степень 3. Следовательно, данный многочлен не является однородным.

в) Степень многочлена

Поскольку многочлен не является однородным, вопрос о его степени как однородного не имеет смысла. Однако общая степень многочлена определяется как максимальная степень среди всех его мономов.

Максимальная степень в данном многочлене составляет 3 (например, у мономов (-9x^2y), (3xy^2), (-11y^3)). Таким образом, степень многочлена (f(x, y)) равна 3.