Cos 5pi/12-cos pi/12

Чтобы решить выражение (\cos \frac{5\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12}), мы можем использовать формулы приведения и разности косинусов.

1. Формула для разности косинусов: [ \cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right) ] Подставим (A = \frac{5\pi}{12}) и (B = \frac{\pi}{12}):

2. Вычисление суммы и разности углов: [ \frac{A + B}{2} = \frac{\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{4} ]

   [ \frac{A - B}{2} = \frac{\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{6} ]

3. Подставим в формулу: [ \cos \frac{5\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12} = -2 \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) ]

4. Вычислим значения синусов: [ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} ]

5. Подставим значения в выражение: [ -2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом, (\cos \frac{5\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2}).

Для нахождения разности cos 5π/12 и cos π/12, воспользуемся формулой косинуса разности:

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

Подставим значения углов a = 5π/12 и b = π/12:

cos (5π/12 - π/12) = cos 5π/12 cos π/12 + sin 5π/12 sin π/12

Теперь вычислим значения косинусов и синусов углов:

cos 5π/12 = cos (2π/3 + π/4) = cos 2π/3 cos π/4 - sin 2π/3 sin π/4 = (-1/2 √2/2) - (√3/2 √2/2) = -√2/4 - √6/4 sin 5π/12 = sin (2π/3 + π/4) = sin 2π/3 cos π/4 + cos 2π/3 sin π/4 = (√3/2 √2/2) + (-1/2 √2/2) = √6/4 - √2/4

cos π/12 = cos (π/4 - π/3) = cos π/4 cos π/3 + sin π/4 sin π/3 = √2/2 1/2 + √2/2 √3/2 = √2/4 + √6/4 sin π/12 = sin (π/4 - π/3) = sin π/4 cos π/3 - cos π/4 sin π/3 = √2/2 1/2 - √2/2 √3/2 = √2/4 - √6/4

Подставляем найденные значения в формулу:

cos (5π/12 - π/12) = (-√2/4 - √6/4) (√2/4 + √6/4) + (√6/4 - √2/4) (√2/4 - √6/4) cos (5π/12 - π/12) = (-√2/4 √2/4 + √6/4 √6/4) + (√6/4 √2/4 - √2/4 √6/4) cos (5π/12 - π/12) = (-2/16 + 6/16) + (6/16 - 2/16) cos (5π/12 - π/12) = 4/16 cos (5π/12 - π/12) = 1/4

Итак, разность cos 5π/12 и cos π/12 равна 1/4.