Будут ли коллинеарны векторы m=a+2b и p,если a(-1;3;-2) , b(2;-1;3) , p(-3;-1;-4) ? установите связь между векторами m и p.Пожалуйста, с пояснением.)
Будут ли коллинеарны векторы m=a+2b и p,если a(-1;3;-2) , b(2;-1;3) , p(-3;-1;-4) ? установите связь между векторами m и p.Пожалуйста, с пояснением.)
Чтобы определить, будут ли векторы ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{p} ) коллинеарны, нужно выяснить, существует ли такое скалярное число ( k ), что ( \mathbf{m} = k \mathbf{p} ).
[ \mathbf{m} = \mathbf{a} + 2\mathbf{b} ]
Дано: [ \mathbf{a} = (-1, 3, -2) ] [ \mathbf{b} = (2, -1, 3) ]
Теперь вычислим ( 2\mathbf{b} ): [ 2\mathbf{b} = 2 \cdot (2, -1, 3) = (4, -2, 6) ]
Складываем векторы ( \mathbf{a} ) и ( 2\mathbf{b} ): [ \mathbf{m} = \mathbf{a} + 2\mathbf{b} = (-1, 3, -2) + (4, -2, 6) = (-1 + 4, 3 - 2, -2 + 6) = (3, 1, 4) ]
Теперь у нас есть векторы: [ \mathbf{m} = (3, 1, 4) ] [ \mathbf{p} = (-3, -1, -4) ]
[ \mathbf{m} = k \mathbf{p} ]
Распишем это по компонентам: [ (3, 1, 4) = k (-3, -1, -4) ]
Решим систему уравнений для каждой компоненты: [ \begin{cases} 3 = -3k \ 1 = -k \ 4 = -4k \end{cases} ]
Рассмотрим первое уравнение: [ 3 = -3k \implies k = -1 ]
Проверим ( k = -1 ) во втором уравнении: [ 1 = -(-1) \implies 1 = 1 ]
Проверим ( k = -1 ) в третьем уравнении: [ 4 = -4(-1) \implies 4 = 4 ]
Все три уравнения выполняются при ( k = -1 ).
Вывод: Векторы ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{p} ) коллинеарны, поскольку ( \mathbf{m} = -1 \cdot \mathbf{p} ). Таким образом, ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{p} ) лежат на одной прямой, но имеют противоположные направления.
Для того чтобы определить, будут ли векторы m=a+2b и p коллинеарными, необходимо проверить, существует ли такое число k, что вектор m=kp.
Выразим вектор m и p через их координаты: m = a + 2b = (-1; 3; -2) + 2(2; -1; 3) = (-1; 3; -2) + (4; -2; 6) = (3; 1; 4) p = (-3; -1; -4)
После этого мы можем найти отношение координат векторов m и p: m/p = (3/-3; 1/-1; 4/-4) = (-1; -1; -1)
Таким образом, вектор m не коллинеарен вектору p, так как мы не можем найти такое число k, при умножении на которое вектор p превратился бы в вектор m.
Связь между векторами m и p заключается в том, что они не коллинеарны, то есть не лежат на одной прямой.
