Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 544, основание равно 512. Найдите радиус вписанной...

Чтобы найти радиус вписанной окружности ( r ) в равнобедренном треугольнике, мы должны использовать формулу радиуса вписанной окружности:

[ r = \frac{S}{p}, ]

где:

• ( S ) — площадь треугольника,
• ( p ) — полупериметр треугольника.

Шаг 1. Вычисление полупериметра ( p )

Полупериметр ( p ) равен половине суммы всех сторон треугольника. В данном случае равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны и одно основание: [ p = \frac{2a + b}{2}, ] где ( a = 544 ) (боковые стороны), ( b = 512 ) (основание).

Подставим значения: [ p = \frac{2 \cdot 544 + 512}{2} = \frac{1088 + 512}{2} = \frac{1600}{2} = 800. ]

Итак, полупериметр равен ( p = 800 ).

Шаг 2. Вычисление площади ( S )

Для нахождения площади треугольника используем формулу Герона: [ S = \sqrt{p(p-a)(p-a)(p-b)}, ] где ( a = 544 ), ( b = 512 ), ( p = 800 ).

Подставим значения: [ S = \sqrt{800 \cdot (800 - 544) \cdot (800 - 544) \cdot (800 - 512)}. ]

Вычислим разности: [ 800 - 544 = 256, \quad 800 - 512 = 288. ]

Теперь подставим в формулу: [ S = \sqrt{800 \cdot 256 \cdot 256 \cdot 288}. ]

Объединим множители: [ S = \sqrt{800 \cdot 256^2 \cdot 288}. ]

Вынесем ( 256 ) за пределы корня: [ S = 256 \cdot \sqrt{800 \cdot 288}. ]

Упростим произведение ( 800 \cdot 288 ): [ 800 \cdot 288 = 800 \cdot (300 - 12) = 800 \cdot 300 - 800 \cdot 12 = 240000 - 9600 = 230400. ]

Подставим значение обратно: [ S = 256 \cdot \sqrt{230400}. ]

Найдём корень из ( 230400 ): [ \sqrt{230400} = 480. ]

Следовательно: [ S = 256 \cdot 480 = 122880. ]

Итак, площадь треугольника равна ( S = 122880 ).

Шаг 3. Нахождение радиуса ( r )

Теперь используем формулу радиуса вписанной окружности: [ r = \frac{S}{p}. ]

Подставим найденные значения: [ r = \frac{122880}{800}. ]

Выполним деление: [ r = 153.6. ]

Ответ:

Радиус вписанной окружности равен ( \boxed{153.6} ).

Для нахождения радиуса вписанной окружности равнобедренного треугольника, нам нужно использовать несколько формул и свойства треугольников.

Обозначим:

• ( a = 544 ) (длина боковых сторон),
• ( b = 512 ) (длина основания).

Сначала найдем полупериметр треугольника ( p ): [ p = \frac{a + a + b}{2} = \frac{2a + b}{2} = \frac{2 \cdot 544 + 512}{2} = \frac{1088 + 512}{2} = \frac{1600}{2} = 800. ]

Теперь мы можем воспользоваться формулой для вычисления радиуса вписанной окружности ( r ) треугольника: [ r = \frac{S}{p}, ] где ( S ) - площадь треугольника, а ( p ) - полупериметр.

Нам нужно найти площадь ( S ) равнобедренного треугольника. Один из способов сделать это - использовать формулу Герона: [ S = \sqrt{p(p-a)(p-a)(p-b)}, ] где ( a ) и ( b ) - длины сторон треугольника.

В нашем случае:

• ( p - a = 800 - 544 = 256 ),
• ( p - b = 800 - 512 = 288 ).

Теперь подставим значения в формулу Герона: [ S = \sqrt{800 \cdot 256 \cdot 256 \cdot 288}. ]

Сначала найдем значения ( 256 \cdot 256 ) и ( 800 \cdot 288 ): [ 256 \cdot 256 = 65536, ] [ 800 \cdot 288 = 230400. ]

Теперь подставим эти значения: [ S = \sqrt{230400 \cdot 65536}. ]

Для упрощения вычислений можно воспользоваться калькулятором: [ 230400 \cdot 65536 = 15099494400. ]

Теперь найдем квадратный корень: [ S = \sqrt{15099494400} \approx 122800. ]

Теперь подставим найденную площадь в формулу для радиуса вписанной окружности: [ r = \frac{S}{p} = \frac{122800}{800} = 153.5. ]

Таким образом, радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника составляет примерно ( 153.5 ) единиц.

Для нахождения радиуса вписанной окружности ( r ) равнобедренного треугольника можно использовать формулу:

[ r = \frac{S}{p} ]

где ( S ) — площадь треугольника, а ( p ) — полупериметр.

1. Найдем полупериметр ( p ): [ p = \frac{a + a + b}{2} = \frac{544 + 544 + 512}{2} = 800 ]

2. Найдем площадь ( S ) треугольника. Для этого можно использовать формулу Герона: [ S = \sqrt{p(p-a)(p-a)(p-b)} ] где ( a = 544 ), ( b = 512 ): [ S = \sqrt{800(800-544)(800-544)(800-512)} = \sqrt{800 \cdot 256 \cdot 256 \cdot 288} ]

Вычислим: [ S = \sqrt{800 \cdot 65536 \cdot 288} = \sqrt{800 \cdot 18874368} \approx 1065368.89 ]

1. Теперь подставим ( S ) и ( p ) в формулу для радиуса: [ r = \frac{S}{p} \approx \frac{1065368.89}{800} \approx 1331.71 ]

Таким образом, радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника составляет приблизительно ( 1331.71 ).