Биологи проводили исследование бактерий. Каждый час каждая бактерия делится на две части. В пробирку...

Через 19 часов пробирка была заполнена наполовину. Рассмотрим процесс размножения бактерий: 1 час - 1 бактерия 2 часа - 2 бактерии 3 часа - 4 бактерии 4 часа - 8 бактерий и так далее.

Таким образом, через 19 часов в пробирке было заполнено половина бактерий, а через 20 часов – все бактерии.

Вопрос о росте бактерий, которые делятся на две части каждый час, является классическим примером задачи на экспоненциальный рост. Давайте разберем этот процесс детально.

Пусть ( N_0 ) — начальное количество бактерий, посаженных в пробирку. Каждая бактерия делится на две части каждый час, поэтому количество бактерий удваивается каждый час.

Через ( t ) часов количество бактерий можно выразить формулой: [ N(t) = N_0 \cdot 2^t ]

Из условия задачи известно, что через 20 часов бактерии заполнили всю пробирку. То есть: [ N(20) = N_0 \cdot 2^{20} ] Это количество бактерий соответствует полному заполнению пробирки.

Теперь нам нужно определить, через сколько часов пробирка была заполнена наполовину. Обозначим это время через ( t{\text{пол}} ). Если пробирка была заполнена наполовину, то количество бактерий в этот момент будет равно половине от ( N(20) ): [ N(t{\text{пол}}) = \frac{1}{2} N(20) ]

Подставим в это выражение ( N(20) ): [ N(t_{\text{пол}}) = \frac{1}{2} (N0 \cdot 2^{20}) ] [ N(t{\text{пол}}) = N0 \cdot 2^{20} \cdot \frac{1}{2} ] [ N(t{\text{пол}}) = N_0 \cdot 2^{19} ]

Сравним это с формулой для количества бактерий через ( t ) часов: [ N(t_{\text{пол}}) = N0 \cdot 2^{t{\text{пол}}} ]

Из этих двух уравнений видно, что: [ N0 \cdot 2^{t{\text{пол}}} = N_0 \cdot 2^{19} ]

Поскольку ( N_0 ) не равно нулю, можно сократить на ( N0 ): [ 2^{t{\text{пол}}} = 2^{19} ]

Следовательно: [ t_{\text{пол}} = 19 ]

Таким образом, пробирка была заполнена наполовину за 19 часов.