Б) найдите наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [-3,1]

Для нахождения наибольших и наименьших значений функции на отрезке [-3,1] необходимо найти критические точки функции внутри этого отрезка, а также значения функции на его концах.

1. Найдем критические точки: Для этого найдем производную данной функции f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x. f'(x) = 3x^2 + 6x - 4.

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: 3x^2 + 6x - 4 = 0 D = 36 - 43(-4) = 36 + 48 = 84 x = (-6 ± √84) / 6 x = (-6 ± 2√21) / 6 x = -1 ± √21

Таким образом, критические точки функции на отрезке [-3,1] равны x = -1 - √21, x = -1 + √21.

1. Теперь найдем значения функции на концах отрезка: f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 4(-3) = -27 + 27 + 12 = 12 f(1) = 1^3 + 31^2 - 41 = 1 + 3 - 4 = 0

2. Теперь сравним найденные значения функции в критических точках и на концах отрезка, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-3,1]: f(-3) = 12 f(-1 - √21) ≈ -16.4 f(-1 + √21) ≈ 17.4 f(1) = 0

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-3,1] равно -16.4, а наибольшее значение равно 17.4.

Наибольшее значение функции на отрезке [-3,1] достигается в точке -3 и равно 6, наименьшее значение функции достигается в точке 1 и равно -3.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, нужно выполнить несколько шагов:

1. Определение функции: Для начала необходимо знать саму функцию. Например, пусть функция задана как ( f(x) ).

2. Нахождение производной: Найдите первую производную функции ( f'(x) ). Это необходимо для определения критических точек, где возможны экстремумы функции.

3. Поиск критических точек:

   • Решите уравнение ( f'(x) = 0 ) для нахождения критических точек функции.
   • Также проверьте точки, где производная не существует, если такие есть, но функция определена.

4. Анализ критических точек и концов отрезка:

   • Вычислите значение функции в критических точках, которые находятся внутри отрезка ([-3, 1]).
   • Также вычислите значение функции в концах отрезка, то есть в точках ( x = -3 ) и ( x = 1 ).

5. Сравнение значений: Сравните все найденные значения функции в критических точках и в концах отрезка. Наибольшее из этих значений будет являться наибольшим значением функции на отрезке, а наименьшее — наименьшим.

Пример: Допустим, функция задана как ( f(x) = x^2 - 4x + 3 ).

1. Производная функции: ( f'(x) = 2x - 4 ).
2. Находим критические точки: ( 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 ).
3. Критическая точка ( x = 2 ) не принадлежит отрезку ([-3, 1]), поэтому ее не рассматриваем.
4. Считаем значения функции в концах отрезка:
   • ( f(-3) = (-3)^2 - 4(-3) + 3 = 9 + 12 + 3 = 24 ).
   • ( f(1) = (1)^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0 ).
5. Сравниваем значения: наибольшее значение функции на отрезке равно 24, а наименьшее — 0.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке ([-3, 1]) равно 24, а наименьшее равно 0.