((A-2)x^2+6x)^2-4((a-2)x^2+6x)^2+4- a^2=0 Найти все значения параметра а , при котором уравнение имеет...

Давайте разберем данное уравнение и найдем значения параметра ( a ), при которых оно имеет два решения.

Уравнение:

[ ((a-2)x^2 + 6x)^2 - 4((a-2)x^2 + 6x) + 4 - a^2 = 0 ]

Обозначим ( y = (a-2)x^2 + 6x ). Тогда уравнение переписывается как:

[ y^2 - 4y + 4 - a^2 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно ( y ):

[ y^2 - 4y + (4 - a^2) = 0 ]

Для того чтобы уравнение имело решения относительно ( y ), дискриминант этого квадратного уравнения должен быть неотрицательным. Дискриминант ( D ) равен:

[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4 - a^2) = 16 - 4(4 - a^2) = 16 - 16 + 4a^2 = 4a^2 ]

Таким образом, дискриминант равен ( 4a^2 ). Чтобы уравнение имело решения, необходимо чтобы:

[ 4a^2 \geq 0 ]

Это условие выполняется для всех значений ( a ), так как квадрат любого числа неотрицателен. Однако, чтобы уравнение имело ровно два различных решения для ( x ), нам нужно, чтобы у него было два различных значения ( y ).

Уравнение для ( y ):

[ y^2 - 4y + (4 - a^2) = 0 ]

Корни этого уравнения:

[ y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4a^2}}{2} ]

Существуют два различных решения для ( y ), если дискриминант больше нуля (( 4a^2 > 0 )), что выполняется для всех ( a \neq 0 ).

Теперь проверим, когда для каждого из этих ( y ) будет ровно одно решение относительно ( x ):

Рассмотрим ( y = (a-2)x^2 + 6x ). Это квадратное уравнение имеет одно решение, если его дискриминант равен нулю. Дискриминант уравнения относительно ( x ):

[ D_x = 6^2 - 4 \cdot (a-2) \cdot y ]

Чтобы было ровно одно решение для ( x ), дискриминант ( D_x ) должен быть равен нулю. Это условие будет выполнено при определенных значениях ( y ) и ( a ).

Таким образом, для того чтобы исходное уравнение имело ровно два решения ( x ), параметр ( a ) должен быть отличен от нуля (( a \neq 0 )).

Для того чтобы уравнение ((a-2)x^2+6x)^2-4((a-2)x^2+6x)^2+4-a^2=0 имело 2 решения, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был положительным.

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac. В данном случае у нас есть квадратное уравнение ((a-2)x^2+6x)^2-4((a-2)x^2+6x)^2+4-a^2=0, которое можно переписать в виде (y)^2-4(y)^2+4-a^2=0, где y = (a-2)x^2+6x. Тогда у нас имеется квадратное уравнение y^2 - 4y + 4 - a^2 = 0.

Дискриминант этого уравнения равен D = (-4)^2 - 41(4 - a^2) = 16 - 16 + 4a^2 = 4a^2.

Для того чтобы уравнение имело два решения, необходимо, чтобы дискриминант был положителен, то есть 4a^2 > 0, что выполняется для всех значений параметра a, кроме a = 0. Таким образом, все значения параметра a, при которых уравнение имеет 2 решения, являются всеми значениями параметра a, кроме a = 0.