9sinx * cos x - 7 cos^2x =2 sin^2 x Решите

Для решения данного уравнения необходимо использовать тригонометрические тождества и преобразования.

1. Преобразуем уравнение: 9sinx cos x - 7 cos^2x =2 sin^2 x 9sinx cos x - 7(1 - sin^2 x) = 2 sin^2 x 9sinx cos x - 7 + 7sin^2 x = 2 sin^2 x 9sinx cos x - 7 + 7sin^2 x = 2 sin^2 x 9sinx * cos x - 7 + 7sin^2 x = 2 sin^2 x

2. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 9sinx cos x - 7 + 7sin^2 x = 2 sin^2 x 9sinx cos x - 7 + 7sin^2 x = 2 sin^2 x

3. Преобразуем уравнение к квадратному: 7sin^2 x + 2sin^2 x - 9sinx cos x + 7 = 0 9sin^2 x - 9sinx cos x - 7 = 0

4. Решим полученное квадратное уравнение: sin x = (9cos x ± √(81cos^2 x + 252))/18

5. Подставим полученные значения sin x в уравнение и найдем все корни.

Таким образом, мы можем решить данное тригонометрическое уравнение и найти все возможные значения x, удовлетворяющие условию.

Для решения уравнения (9\sin x \cdot \cos x - 7\cos^2 x = 2\sin^2 x) используем тригонометрические преобразования.

1. Выразим (\cos^2 x) и (\sin^2 x) через (\cos 2x):

   [ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} ] [ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} ]

2. Подставим выражения в уравнение:

   [ 9\sin x \cdot \cos x - 7\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) = 2\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) ]

   Упрощаем:

   [ 9\sin x \cdot \cos x - \frac{7}{2}(1 + \cos 2x) = (1 - \cos 2x) ]

3. Умножим всю уравнение на 2 для избавления от дробей:

   [ 18\sin x \cdot \cos x - 7(1 + \cos 2x) = 2(1 - \cos 2x) ]

4. Упрощаем:

   [ 18\sin x \cdot \cos x - 7 - 7\cos 2x = 2 - 2\cos 2x ]

5. Переносим все в одну сторону:

   [ 18\sin x \cdot \cos x - 7\cos 2x + 2\cos 2x = 2 + 7 - 18 ]

   [ 18\sin x \cdot \cos x - 5\cos 2x = -9 ]

6. Заменим ( \sin x \cdot \cos x ) на (\frac{1}{2}\sin 2x):

   [ 9\sin 2x - 5\cos 2x = -9 ]

7. Переносим (9) вправо:

   [ 9\sin 2x - 5\cos 2x + 9 = 0 ]

8. Для упрощения, сделаем замену: ( \sin 2x = y ) и (\cos 2x = \sqrt{1-y^2}):

   [ 9y - 5\sqrt{1-y^2} + 9 = 0 ]

9. Изолируем корень и квадрат:

   [ 5\sqrt{1-y^2} = 9y + 9 ]

   [ 25(1-y^2) = (9y + 9)^2 ]

10. Раскрываем скобки и упрощаем:

[ 25 - 25y^2 = 81y^2 + 162y + 81 ]

[ 106y^2 + 162y + 56 = 0 ]

1. Найдем ( y ) с помощью дискриминанта (D):

[ D = 162^2 - 4 \times 106 \times 56 ]

После нахождения дискриминанта, найдем корни:

[ y = \frac{-162 \pm \sqrt{D}}{2 \times 106} ]

После решения квадратного уравнения, найдите значения (x) для каждого корня (y = \sin 2x). Учитывайте, что тригонометрические функции периодические, и могут быть несколько решений.

sin(2x) = 1/2