9 в степени (х - 1/2)- 8*3 в степени( x-1)+5=0 на промежутке ( 1, 7/3)

Чтобы решить уравнение (9^{(x - \frac{1}{2})} - 8 \cdot 3^{(x - 1)} + 5 = 0) на промежутке ((1, \frac{7}{3})), воспользуемся заменой переменной и свойствами степеней.

1. Преобразуем уравнение для удобного вида. Заметим, что (9) можно записать как (3^2): [ 9^{(x - \frac{1}{2})} = (3^2)^{(x - \frac{1}{2})} = 3^{2(x - \frac{1}{2})}. ] Тогда уравнение примет вид: [ 3^{2(x - \frac{1}{2})} - 8 \cdot 3^{(x - 1)} + 5 = 0. ]

2. Преобразуем показатель степени: [ 3^{2(x - \frac{1}{2})} = 3^{2x - 1}. ]

   Теперь уравнение выглядит так: [ 3^{2x - 1} - 8 \cdot 3^{x - 1} + 5 = 0. ]

3. Введем замену (y = 3^{x - 1}). Тогда (3^{2x - 1} = (3^{x - 1})^2 = y^2). Уравнение примет вид: [ y^2 - 8y + 5 = 0. ]

4. Решим квадратное уравнение: [ y^2 - 8y + 5 = 0. ] Найдем корни этого уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения: [ y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 20}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 4 \pm \sqrt{11}. ]

   Таким образом, (y_1 = 4 + \sqrt{11}) и (y_2 = 4 - \sqrt{11}).

5. Вернемся к переменной (x): [ 3^{x - 1} = 4 + \sqrt{11} \quad \text{или} \quad 3^{x - 1} = 4 - \sqrt{11}. ]

6. Рассмотрим оба случая отдельно.

   Для (3^{x - 1} = 4 + \sqrt{11}): [ x - 1 = \log_3(4 + \sqrt{11}), ] [ x = 1 + \log_3(4 + \sqrt{11}). ]

   Для (3^{x - 1} = 4 - \sqrt{11}): [ x - 1 = \log_3(4 - \sqrt{11}), ] [ x = 1 + \log_3(4 - \sqrt{11}). ]

7. Проверим, принадлежат ли найденные корни промежутку ((1, \frac{7}{3})).

   Найдем значения логарифмов: [ 4 + \sqrt{11} \approx 4 + 3.317 = 7.317, ] [ \log_3(7.317) \approx 1.771. ] [ x_1 \approx 1 + 1.771 = 2.771. ]

   [ 4 - \sqrt{11} \approx 4 - 3.317 = 0.683, ] [ \log_3(0.683) \approx -0.205. ] [ x_2 \approx 1 - 0.205 = 0.795. ]

8. Из двух корней (x_1 \approx 2.771) и (x_2 \approx 0.795), только (x_1) принадлежит промежутку ((1, \frac{7}{3})).

Итак, решение уравнения на заданном промежутке: [ x = 1 + \log_3(4 + \sqrt{11}) \approx 2.771. ]

Для решения данного уравнения на промежутке (1, 7/3) необходимо использовать методы решения нелинейных уравнений. Подставим значения x = 1 и x = 7/3 в уравнение и найдем значение левой и правой части уравнения. Затем используем метод проб и ошибок для нахождения корня уравнения.

Подставляя x = 1: 9^(1 - 1/2) - 8*3^(1-1) + 5 = 9^0.5 - 8 + 5 = 3 - 8 + 5 = 0

Подставляя x = 7/3: 9^(7/3 - 1/2) - 83^(7/3-1) + 5 = 9^(5/3) - 83^(4/3) + 5 = 243 - 64*3 + 5 = 243 - 192 + 5 = 56

Таким образом, корень уравнения на промежутке (1, 7/3) лежит между x = 1 и x = 7/3. Для точного нахождения корня следует использовать численные методы решения уравнений.