8 sin π/6 * cos 2π/3 * tg 4π/3 * ctg 7π/4 =

Давайте разберём выражение (8 \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{2\pi}{3} \cdot \tan \frac{4\pi}{3} \cdot \cot \frac{7\pi}{4}) шаг за шагом.

1. Найдём (\sin \frac{\pi}{6}):

   [ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} ]

2. Найдём (\cos \frac{2\pi}{3}):

   Угол (\frac{2\pi}{3}) находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Его дополнительный угол (\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}).

   [ \cos \frac{2\pi}{3} = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} ]

3. Найдём (\tan \frac{4\pi}{3}):

   Угол (\frac{4\pi}{3}) находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Его дополнительный угол (\frac{4\pi}{3} - \pi = \frac{\pi}{3}).

   [ \tan \frac{4\pi}{3} = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} ]

4. Найдём (\cot \frac{7\pi}{4}):

   Угол (\frac{7\pi}{4}) находится в четвёртой четверти, где котангенс отрицателен. Его дополнительный угол (2\pi - \frac{7\pi}{4} = \frac{\pi}{4}).

   [ \cot \frac{7\pi}{4} = -\cot \frac{\pi}{4} = -1 ]

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

[ 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \sqrt{3} \cdot (-1) ]

Выполним перемножение:

[ = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot -1 = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{3} ]

Таким образом, значение выражения равно (2\sqrt{3}).

Для расчета данного выражения необходимо сначала вычислить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для каждого угла, а затем умножить полученные значения.

1. sin(π/6) = 1/2, cos(2π/3) = -1/2, tg(4π/3) = -√3, ctg(7π/4) = -1
2. Умножаем полученные значения: 8 (1/2) (-1/2) (-√3) (-1) = 8 1/2 1/2 √3 1 = 2√3

Итак, результат выражения 8 sin(π/6) cos(2π/3) tg(4π/3) * ctg(7π/4) равен 2√3.