- В футболе команда получает за победу 3 очка, за ничью – 1 очко, а за поражение – 0 очков. Команда сыграла 38 матчей и получила 80 очков. Какое наибольшее число раз эта команда могла проиграть?
Для решения этой задачи необходимо определить, сколько раз команда могла проиграть, учитывая, что она сыграла 38 матчей и заработала 80 очков. Определим переменные:
Известно, что:
Наша цель — максимизировать ( L ).
Для этого сначала выразим ( D ) через ( W ) из второго уравнения:
[ D = 80 - 3W ]
Подставим это выражение в первое уравнение:
[ W + (80 - 3W) + L = 38 ]
Сократим и упростим:
[ W + 80 - 3W + L = 38 ]
[ -2W + L = 38 - 80 ]
[ -2W + L = -42 ]
Отсюда получаем:
[ L = 2W - 42 ]
Чтобы максимизировать ( L ), нужно минимизировать ( W ). Но также необходимо учитывать, что ( D ) и ( W ) не могут быть отрицательными числами.
Поскольку ( D = 80 - 3W ), то необходимо, чтобы:
[ 80 - 3W \geq 0 ]
Решим неравенство:
[ 80 \geq 3W ]
[ W \leq \frac{80}{3} \approx 26.67 ]
Максимальное целое значение для ( W ) равно 26, так как количество побед должно быть целым числом. Подставим ( W = 26 ) в уравнение для ( L ):
[ L = 2 \times 26 - 42 = 52 - 42 = 10 ]
Теперь проверим:
Проверим, что сумма матчей равна 38:
[ W + D + L = 26 + 2 + 10 = 38 ]
Все условия задачи выполняются. Таким образом, наибольшее количество поражений, которое могла бы иметь команда, составляет 10.
Пусть x - количество побед, y - количество ничьих, z - количество поражений. Тогда у нас есть система уравнений:
x + y + z = 38 (общее количество матчей) 3x + y = 80 (общее количество очков)
Из первого уравнения выразим z: z = 38 - x - y
Подставим это выражение во второе уравнение:
3x + y = 80 3x + y = 3(38 - x - y) + y 3x + y = 114 - 3x - 3y + y 6x + 2y = 114 3x + y = 57
Таким образом, у нас есть система уравнений: x + y + z = 38 3x + y = 57
Решив данную систему уравнений, получаем x = 19, y = 18, z = 1.
Значит, эта команда могла проиграть не более 1 раза.
