2 корень 3 cos^2 13п/12 - корень из 3

Чтобы решить выражение (2 \sqrt{3} \cos^2 \left(\frac{13\pi}{12}\right) - \sqrt{3}), начнем с вычисления (\cos \left(\frac{13\pi}{12}\right)).

Шаг 1: Найдите (\cos \left(\frac{13\pi}{12}\right))

Угол (\frac{13\pi}{12}) находится в четвертой четверти, и его можно представить как: [ \frac{13\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12} ]

Используем формулу косинуса для суммы: [ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b ]

Где (a = \pi) и (b = \frac{\pi}{12}). Мы знаем, что (\cos \pi = -1) и (\sin \pi = 0). Таким образом: [ \cos \left(\pi + \frac{\pi}{12}\right) = -\cos \frac{\pi}{12} ]

Теперь нужно найти (\cos \frac{\pi}{12}). Угол (\frac{\pi}{12}) можно выразить как (\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}). Используем формулу косинуса разности: [ \cos \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{4} ]

Значения тригонометрических функций: [ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Подставляем эти значения: [ \cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

Следовательно: [ \cos \left(\frac{13\pi}{12}\right) = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

Шаг 2: Найдите (\cos^2 \left(\frac{13\pi}{12}\right))

[ \cos^2 \left(\frac{13\pi}{12}\right) = \left(-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{16} ]

Раскроем квадрат: [ (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = 6 + 2\sqrt{12} + 2 = 8 + 2\sqrt{12} = 8 + 4\sqrt{3} ]

Таким образом: [ \cos^2 \left(\frac{13\pi}{12}\right) = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} ]

Шаг 3: Подставьте в исходное выражение

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение: [ 2 \sqrt{3} \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) - \sqrt{3} ]

Раскрываем скобки: [ = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} ] [ = \sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} ]

Упростим: [ = \frac{3\sqrt{3}}{2} ]

Таким образом, значение выражения равно (\frac{3\sqrt{3}}{2}).

Для решения данного выражения, сначала преобразуем угол 13π/12 в угол в первом квадранте. Угол 13π/12 можно представить как 12π/12 + π/12, что эквивалентно углу π/12.

Таким образом, у нас получается: 2√3 * cos^2(π/12) - √3

Далее, используем тригонометрическое тождество cos(2α) = 2cos^2(α) - 1, чтобы перейти к углу 2π/6 = π/3, так как cos(π/12) = cos(π/6)/2 = √3/2.

Подставляем это значение в наше выражение: 2√3 (2cos^2(π/6) - 1) - √3 = 2√3 (2 (3/4) - 1) - √3 = 2√3 (3/2 - 1) - √3 = 2√3 (3/2 - 2/2) - √3 = 2√3 (1/2) - √3 = √3 - √3 = 0

Таким образом, результат выражения равен 0.