1)Вероятность успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность того, что при 300 испытаниях успех наступит равно 75 раз? 2)Производство даёт 1 % брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?
Для решения задач по теории вероятностей, связанных с испытаниями, мы часто используем биномиальное и нормальное распределения. Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности.
Здесь мы имеем дело с биномиальным распределением, поскольку каждое испытание является независимым, и в каждом испытании есть только два возможных исхода: успех или неудача.
Формула биномиального распределения: [ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, ] где:
Сначала вычислим биномиальный коэффициент: [ \binom{300}{75} = \frac{300!}{75! \times (300-75)!}. ]
Подставляем значения в формулу: [ P(X = 75) = \binom{300}{75} \times (0,25)^{75} \times (0,75)^{225}. ]
Вычисление этого выражения вручную может быть затруднительным из-за больших чисел, поэтому для практических расчетов обычно используют статистические калькуляторы или программное обеспечение.
Однако, при больших значениях ( n ), как в этом случае, можно использовать нормальное приближение к биномиальному распределению. Среднее ( \mu ) и стандартное отклонение ( \sigma ) для биномиального распределения можно найти по формулам: [ \mu = n \times p = 300 \times 0,25 = 75, ] [ \sigma = \sqrt{n \times p \times (1-p)} = \sqrt{300 \times 0,25 \times 0,75}. ]
Для нормального приближения используем: [ Z = \frac{k - \mu}{\sigma}, ] где ( Z ) — стандартное нормальное распределение.
Рассчитываем ( \sigma ): [ \sigma = \sqrt{300 \times 0,25 \times 0,75} = \sqrt{56,25} \approx 7,5. ]
Затем: [ Z = \frac{75 - 75}{7,5} = 0. ]
Значение ( Z = 0 ) соответствует вероятности 0,5 (50%) в таблице стандартного нормального распределения. Однако, для конкретного биномиального распределения при больших ( n ) обычно используют программное обеспечение для более точного результата.
Снова используем биномиальное распределение с параметрами:
Среднее и стандартное отклонение: [ \mu = n \times p = 1100 \times 0,01 = 11, ] [ \sigma = \sqrt{n \times p \times (1-p)} = \sqrt{1100 \times 0,01 \times 0,99}. ]
Вычисляем ( \sigma ): [ \sigma = \sqrt{11 \times 0,99} \approx \sqrt{10,89} \approx 3,3. ]
Используя нормальное приближение, найдём вероятность того, что число брака не превысит 17: [ Z = \frac{17 - 11}{3,3} \approx \frac{6}{3,3} \approx 1,82. ]
Теперь используем таблицу стандартного нормального распределения или калькулятор для нахождения вероятности для ( Z = 1,82 ). Это даёт вероятность около 0,9656. Таким образом, вероятность того, что выбраковано будет не более 17 изделий, составляет примерно 96,56%.
Обратите внимание, что для точных расчетов, особенно при больших значениях ( n ), лучше использовать специальные статистические программы или калькуляторы.
1) Вероятность успеха в каждом испытании равна 0,25. Для нахождения вероятности успеха в 75 из 300 испытаний можно воспользоваться формулой Бернулли: P = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k), где n = 300, k = 75, p = 0,25. 2) Производство даёт 1 % брака. Для нахождения вероятности выбраковать не больше 17 из 1100 изделий можно воспользоваться формулой Пуассона.
1) Для решения данной задачи мы можем воспользоваться биномиальным распределением. В данном случае вероятность успеха в каждом испытании равна 0,25, а количество испытаний равно 300. Таким образом, мы ищем вероятность того, что успех наступит ровно 75 раз из 300 испытаний. Формула для расчета вероятности биномиального распределения выглядит следующим образом:
P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k), где n = 300 - общее количество испытаний, k = 75 - количество успехов, p = 0,25 - вероятность успеха в каждом испытании, C(n, k) - количество сочетаний из n по k.
Таким образом, подставив наши значения в формулу, мы можем вычислить вероятность того, что успех наступит ровно 75 раз из 300 испытаний.
2) Для решения данной задачи также можно воспользоваться биномиальным распределением. В данном случае вероятность брака равна 1%, а количество изделий, взятых на исследование, равно 1100. Мы ищем вероятность того, что не более 17 изделий будут выбракованы из 1100. Аналогично предыдущему случаю, мы можем воспользоваться формулой биномиального распределения для расчета вероятности данного события.
