1.Постройте график функции y=3/x а) Найдите область определения функции. б) Какие значения принимает функция? в) Является ли функция четной или не четной? г) Укажите промежутки возрастания (убывания) функции; промежутки, в которых функция принимает положительные (отрицательные) значения.
а) Область определения функции y=3/x - x ≠ 0 б) Функция принимает все значения, кроме 0. в) Функция не является ни четной, ни нечетной. г) Функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞), принимает положительные значения на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞), и отрицательные значения на интервале (-∞, 0) и (0, +∞).
а) Область определения функции y=3/x - все действительные числа, кроме x=0. б) Функция y=3/x принимает все значения, кроме 0, так как при x=0 функция не определена. в) Функция y=3/x не является ни четной, ни нечетной. г) Функция возрастает на интервалах (-бесконечность, 0) и (0, +бесконечность), убывает на интервале (0, +бесконечность). Функция принимает положительные значения при x<0 и x>0, отрицательные значения при x<0.
а) Область определения функции
Функция y = 3/x является гиперболой. Её область определения включает все действительные числа, кроме нуля, так как деление на ноль не определено в математике. Таким образом, область определения функции: ( D(y) = \mathbb{R} \setminus {0} ).
б) Какие значения принимает функция
Функция принимает все действительные значения, кроме нуля. Нет такого x, при котором y = 3/x будет равно нулю. Значения функции могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от знака x. Следовательно, множество значений функции: ( E(y) = \mathbb{R} \setminus {0} ).
в) Четность или нечетность функции
Четная функция определяется условием f(-x) = f(x) для всех x из области определения функции. Нечетная функция определяется условием f(-x) = -f(x). Для функции y = 3/x:
y(-x) = 3/(-x) = -3/x = -y(x).
Так как y(-x) = -y(x), функция y = 3/x является нечетной.
г) Промежутки возрастания и убывания; промежутки положительных и отрицательных значений
Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на промежутке ( x \in (-\infty, 0) ) и на промежутке ( x \in (0, +\infty) ). Поскольку функция гиперболическая, она убывает при увеличении абсолютной величины x как в положительной, так и в отрицательной области.
Промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения:
Таким образом, функция y = 3/x является нечетной, убывающей на всей области определения, принимает все значения, кроме нуля, и не определена при x = 0.
