1)Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(3t^2+4t)(м\с), второе - со скоростью v=(6t+12)(м\с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10с? 2) Скорость движения точки v=(3t^2-2t-3)(м\с). Найти путь, пройденный точкой за 2-ю секунду. Прошу решить и объяснить. Заранее спасибо.
1) Для решения задачи о движении двух тел, нужно определить их местоположение через 10 секунд. Для этого интегрируем скорость, чтобы получить закон движения (положение в зависимости от времени).
Для первого тела: [ v_1 = 3t^2 + 4t ]
Интегрируем скорость (v_1) по времени (t): [ x_1(t) = \int (3t^2 + 4t) \, dt = \int 3t^2 \, dt + \int 4t \, dt ]
[ x_1(t) = t^3 + 2t^2 + C ]
Поскольку тело начало движение из одной точки, начальное положение (x_1(0) = 0), значит (C = 0): [ x_1(t) = t^3 + 2t^2 ]
Для второго тела: [ v_2 = 6t + 12 ]
Интегрируем скорость (v_2) по времени (t): [ x_2(t) = \int (6t + 12) \, dt = \int 6t \, dt + \int 12 \, dt ]
[ x_2(t) = 3t^2 + 12t + C ]
Поскольку тело начало движение из одной точки, начальное положение (x_2(0) = 0), значит (C = 0): [ x_2(t) = 3t^2 + 12t ]
Теперь найдем положение каждого тела через 10 секунд: [ x_1(10) = 10^3 + 2 \cdot 10^2 = 1000 + 200 = 1200 \, \text{м} ]
[ x_2(10) = 3 \cdot 10^2 + 12 \cdot 10 = 3 \cdot 100 + 120 = 300 + 120 = 420 \, \text{м} ]
Расстояние между телами через 10 секунд: [ \Delta x = |x_1(10) - x_2(10)| = |1200 - 420| = 780 \, \text{м} ]
2) Для нахождения пути, пройденного точкой за 2-ю секунду, нужно найти её положение в моменты времени (t = 1) секунда и (t = 2) секунды и вычислить разницу.
Скорость точки: [ v = 3t^2 - 2t - 3 ]
Интегрируем скорость (v) по времени (t): [ x(t) = \int (3t^2 - 2t - 3) \, dt = \int 3t^2 \, dt - \int 2t \, dt - \int 3 \, dt ]
[ x(t) = t^3 - t^2 - 3t + C ]
Поскольку начальное положение не указано, допустим (C = 0): [ x(t) = t^3 - t^2 - 3t ]
Найдем положение точки в моменты времени (t = 1) секунда и (t = 2) секунды: [ x(1) = 1^3 - 1^2 - 3 \cdot 1 = 1 - 1 - 3 = -3 \, \text{м} ]
[ x(2) = 2^3 - 2^2 - 3 \cdot 2 = 8 - 4 - 6 = -2 \, \text{м} ]
Путь, пройденный точкой за 2-ю секунду: [ \Delta x = x(2) - x(1) = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1 \, \text{м} ]
Таким образом, за 2-ю секунду точка прошла путь в 1 метр.
1) Чтобы найти расстояние между телами через 10 секунд, нужно найти функции координат для каждого тела, проинтегрировав скорости. Затем вычислить разницу между этими функциями в момент времени t=10 секунд.
2) Для нахождения пути, пройденного точкой за 2-ю секунду, нужно проинтегрировать скорость по времени от 0 до 2 секунд и получить значение пути.
1) Для нахождения расстояния между двумя телами через 10 секунд нужно найти функции зависимости координат каждого тела от времени. Для первого тела координата x1 будет равна интегралу от его скорости по времени: x1 = ∫(3t^2+4t)dt = t^3 + 2t^2 + C1, где C1 - постоянная интегрирования. Для второго тела координата x2 будет равна интегралу от его скорости по времени: x2 = ∫(6t+12)dt = 3t^2 + 12t + C2, где C2 - постоянная интегрирования.
Чтобы найти расстояние между телами через 10 секунд, подставим t = 10 в найденные функции и найдем разность координат: |x1 - x2| = |(10)^3 + 2(10)^2 + C1 - (3(10)^2 + 12*10 + C2)| = |1000 + 200 + C1 - 300 - 120 + C2| = 780 + C1 - C2.
2) Для нахождения пути, пройденного точкой за 2-ю секунду, нужно найти значение интеграла от скорости за это время. Интегрируем скорость v=(3t^2-2t-3) по времени: x = ∫(3t^2-2t-3)dt = t^3 - t^2 - 3t + C. Теперь подставляем t = 2 и t = 0 в найденное выражение и находим разность: x(2) - x(0) = (2)^3 - (2)^2 - 3*2 + C - 0 = 8 - 4 - 6 + C = -2 + C. Таким образом, путь, пройденный точкой за 2-ю секунду, равен -2 + C метров.
