10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причём известно, что среди них есть школьники которые решили...

Предположим, что все 10 школьников решили не более четырёх задач. Тогда суммарно они решили не более 40 задач (10 * 4 = 40), что противоречит условию о решении 35 задач. Следовательно, среди школьников должен быть хотя бы один, решивший не меньше пяти задач.

Предположим, что все 10 школьников решили не более 4 задач. Тогда общее количество решенных задач не превысит 10*4=40 задач. Однако, из условия известно, что школьники решили 35 задач, что противоречит нашему предположению.

Следовательно, среди 10 школьников обязательно есть хотя бы один, который решил не меньше пяти задач.

Рассмотрим данную задачу с точки зрения математической логики и теории чисел. Мы знаем, что 10 школьников решили в общей сложности 35 задач. Также известно, что есть школьники, которые решили ровно одну задачу, ровно две задачи и ровно три задачи.

Обозначим количество школьников, решивших ровно одну задачу, через (a), ровно две задачи — через (b), и ровно три задачи — через (c). Тогда общее количество решённых задач этими школьниками можно записать как: [ a + 2b + 3c ]

Обозначим также количество школьников, которые решили больше трёх задач, через (d). Пусть каждый из этих школьников решил (k_i) задач, где (ki \geq 4). Тогда общее количество задач, решённых этими школьниками, будет: [ \sum{i=1}^{d} k_i ]

Таким образом, общее количество решённых задач равно: [ a + 2b + 3c + \sum_{i=1}^{d} k_i = 35 ]

Также известно, что всего 10 школьников, следовательно: [ a + b + c + d = 10 ]

Рассмотрим случаи, когда все школьники решили не более трёх задач:

1. Если (d = 0) (нет школьников, которые решили больше трёх задач), тогда (a + b + c = 10).
2. В этом случае общее количество решённых задач будет ограничено: [ a + 2b + 3c \leq 3(a + b + c) = 3 \times 10 = 30 ]

Но по условию задачи общее количество решённых задач равно 35, что больше 30. Следовательно, это противоречие означает, что как минимум один школьник должен был решить больше трёх задач.

Теперь, чтобы доказать, что существует школьник, который решил не меньше пяти задач, рассмотрим, что может произойти с (d):

1. Если (d = 1) (т.е., есть только один школьник, который решил больше трёх задач), тогда: [ a + b + c + 1 = 10 \Rightarrow a + b + c = 9 ]
2. Подставим это в уравнение общего количества решённых задач: [ a + 2b + 3c + k_1 = 35 ]
3. Поскольку (a + 2b + 3c \leq 3(a + b + c) = 3 \times 9 = 27), имеем: [ 27 + k_1 = 35 \Rightarrow k_1 = 8 ]

Таким образом, (k_1 = 8), что удовлетворяет условиям, и это больше пяти.

Если рассмотреть случаи, когда (d \geq 2), это тоже потребует, чтобы хотя бы один из этих школьников решал не менее пяти задач, чтобы сумма решённых задач достигла 35.

Следовательно, из всех возможных случаев следует, что существует школьник, который решил не меньше пяти задач.