1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2;3): a) параллельно оси Ox; b) параллельно...

Давай разберём каждый из пунктов по отдельности.

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2;3):

a) Параллельно оси Ox:

Прямая, параллельная оси Ox, имеет уравнение вида ( y = c ), где ( c ) - это постоянная. Поскольку прямая проходит через точку ( A(2;3) ), то ( c = 3 ).

Таким образом, уравнение прямой: [ y = 3 ]

b) Параллельно оси Oy:

Прямая, параллельная оси Oy, имеет уравнение вида ( x = c ), где ( c ) - это постоянная. Поскольку прямая проходит через точку ( A(2;3) ), то ( c = 2 ).

Таким образом, уравнение прямой: [ x = 2 ]

2. Составить уравнения прямых, проходящих через точку пересечения ( 3y+1=0 ) и ( 3x-y-2=0 ) параллельно и перпендикулярно прямой ( y=x+1 ).

Сначала найдём точку пересечения данных прямых.

Для этого решим систему уравнений:

1. ( 3y + 1 = 0 )
2. ( 3x - y - 2 = 0 )

Из первого уравнения: [ 3y + 1 = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{3} ]

Подставим значение ( y ) во второе уравнение: [ 3x - (-\frac{1}{3}) - 2 = 0 ] [ 3x + \frac{1}{3} - 2 = 0 ] [ 3x - \frac{5}{3} = 0 ] [ 3x = \frac{5}{3} ] [ x = \frac{5}{9} ]

Точка пересечения: ( \left(\frac{5}{9}, -\frac{1}{3}\right) ).

Теперь составим уравнения прямых.

Параллельно прямой ( y = x + 1 ):

Прямая, параллельная ( y = x + 1 ), имеет такой же наклон: ( y = x + b ). Подставим координаты точки ( \left(\frac{5}{9}, -\frac{1}{3}\right) ):

[ -\frac{1}{3} = \frac{5}{9} + b ] [ b = -\frac{1}{3} - \frac{5}{9} ] [ b = -\frac{3}{9} - \frac{5}{9} ] [ b = -\frac{8}{9} ]

Уравнение прямой: [ y = x - \frac{8}{9} ]

Перпендикулярно прямой ( y = x + 1 ):

Прямая, перпендикулярная ( y = x + 1 ), имеет наклон, равный отрицательному обратному значению наклона данной прямой, то есть ( y = -x + b ). Подставим координаты точки ( \left(\frac{5}{9}, -\frac{1}{3}\right) ):

[ -\frac{1}{3} = -\frac{5}{9} + b ] [ b = -\frac{1}{3} + \frac{5}{9} ] [ b = -\frac{3}{9} + \frac{5}{9} ] [ b = \frac{2}{9} ]

Уравнение прямой: [ y = -x + \frac{2}{9} ]

3. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями ( y=x-2 ) и ( x-5y+6=0 ). Диагонали его пересекаются в начале координат. Найти уравнение двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.

Для начала найдём точку пересечения данных прямых:

1. ( y = x - 2 )
2. ( x - 5y + 6 = 0 )

Подставим ( y = x - 2 ) во второе уравнение: [ x - 5(x - 2) + 6 = 0 ] [ x - 5x + 10 + 6 = 0 ] [ -4x + 16 = 0 ] [ x = 4 ]

Когда ( x = 4 ): [ y = 4 - 2 = 2 ]

Точка пересечения: ( (4, 2) ).

Диагонали пересекаются в начале координат, значит, центр параллелограмма находится в начале координат. Следовательно, противоположная точка параллелограмма будет симметрична точке ( (4, 2) ) относительно начала координат, то есть будет точка ( (-4, -2) ).

Теперь найдём уравнения двух других сторон, проходящих через точки ( (4, 2) ) и ( (-4, -2) ).

Прямая, проходящая через точки ( (0, 0) ) и ( (4, 2) ): [ y = \frac{2}{4} x = \frac{1}{2} x ]

Прямая, проходящая через точки ( (0, 0) ) и ( (-4, -2) ): [ y = \frac{-2}{-4} x = \frac{1}{2} x ]

Таким образом, уравнения двух других сторон параллелограмма:

1. ( y = \frac{1}{2} x )
2. ( y = \frac{1}{2} x )

Уравнения диагоналей, проходящих через начало координат и точки пересечения:

1. ( y = x - 2 )
2. ( x - 5y + 6 = 0 )

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых ( x + y = 4 ) и ( x - y = 0 ), параллельно прямой ( x - 4y + 4 = 0 ).

Сначала найдём точку пересечения данных прямых:

1. ( x + y = 4 )
2. ( x - y = 0 )

Решим систему уравнений: [ \begin{cases} x + y = 4 \ x - y = 0 \end{cases} ]

Добавим уравнения: [ 2x = 4 ] [ x = 2 ]

Теперь подставим ( x = 2 ) в одно из уравнений: [ 2 - y = 0 ] [ y = 2 ]

Точка пересечения: ( (2, 2) ).

Прямая, параллельная ( x - 4y + 4 = 0 ), имеет такой же наклон. Преобразуем уравнение к виду ( y = kx + b ): [ x - 4y + 4 = 0 ] [ -4y = -x - 4 ] [ y = \frac{1}{4}x + 1 ]

Прямая, параллельная этой, имеет вид ( y = \frac{1}{4}x + b ). Подставим точку ( (2, 2) ): [ 2 = \frac{1}{4}(2) + b ] [ 2 = \frac{1}{2} + b ] [ b = 2 - \frac{1}{2} ] [ b = \frac{3}{2} ]

Уравнение прямой: [ y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{2} ]

1. a) Уравнение прямой, параллельной оси Ox и проходящей через точку А(2;3), имеет вид y = 3. b) Уравнение прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку А(2;3), имеет вид x = 2.

2. Для нахождения уравнений прямых, проходящих через точку пересечения 3y+1=0 и 3x-y-2=0 параллельно и перпендикулярно прямой y=x+1, сначала найдем точку пересечения двух данных прямых. Решив систему уравнений, получим x = -1, y = -1. Точка пересечения - (-1;-1).

а) Уравнение прямой, параллельной прямой y=x+1 и проходящей через точку (-1;-1), имеет вид y = x. б) Уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=x+1 и проходящей через точку (-1;-1), имеет вид y = -x.

1. Для нахождения уравнений двух других сторон параллелограмма, проходящих через точку пересечения y=x-2 и x-5y+6=0, сначала найдем точку пересечения двух данных прямых. Решив систему уравнений, получим x = 2, y = 0. Точка пересечения - (2;0).

Уравнение прямой, проходящей через точку (2;0) и параллельной прямой y=x-2, имеет вид y = x-2. Уравнение прямой, проходящей через точку (2;0) и перпендикулярной прямой x-5y+6=0, имеет вид y = 5x/2 - 5.

Диагонали параллелограмма пересекаются в начале координат, следовательно, уравнение диагоналей перпендикулярных прямых, проходящих через начало координат, имеют вид y = x и y = -x.

1. Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку пересечения прямых x+y=4 и x-y=0 параллельно прямой x-4y+4=0, сначала найдем точку пересечения двух данных прямых. Решив систему уравнений, получим x = 2, y = 2. Точка пересечения - (2;2).

Уравнение прямой, проходящей через точку (2;2) и параллельной прямой x-4y+4=0, имеет вид x-4y = 0.