1) НОД= (12; 18 ) 2) НОД= (25; 48) 3) НОД (140; 35 ) 4) НОД= (24; 16) 5) НОД= (900; 36) НОД= Наибольшее...

НОД (наибольший общий делитель) — это наибольшее натуральное число, на которое без остатка делятся оба числа. Для вычисления НОД можно использовать несколько методов, например: разложение чисел на простые множители или алгоритм Евклида. Рассмотрим каждый случай:

1. НОД(12; 18)

Разложим числа на простые множители:

• ( 12 = 2^2 \cdot 3 ),
• ( 18 = 2 \cdot 3^2 ).

Общие множители: ( 2 ) и ( 3 ). Берем их в минимальных степенях:

• ( 2^1 \cdot 3^1 = 6 ).

Ответ: НОД(12; 18) = 6.

2. НОД(25; 48)

Разложим числа на простые множители:

• ( 25 = 5^2 ),
• ( 48 = 2^4 \cdot 3 ).

Общих множителей нет, так как ( 25 ) и ( 48 ) не имеют общих делителей, кроме ( 1 ).

Ответ: НОД(25; 48) = 1.

3. НОД(140; 35)

Разложим числа на простые множители:

• ( 140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 ),
• ( 35 = 5 \cdot 7 ).

Общие множители: ( 5 ) и ( 7 ). Их произведение:

• ( 5 \cdot 7 = 35 ).

Ответ: НОД(140; 35) = 35.

4. НОД(24; 16)

Разложим числа на простые множители:

• ( 24 = 2^3 \cdot 3 ),
• ( 16 = 2^4 ).

Общий множитель — ( 2 ). Берем его в минимальной степени:

• ( 2^3 = 8 ).

Ответ: НОД(24; 16) = 8.

5. НОД(900; 36)

Разложим числа на простые множители:

• ( 900 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 ),
• ( 36 = 2^2 \cdot 3^2 ).

Общие множители: ( 2^2 \cdot 3^2 ). Их произведение:

• ( 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 ).

Ответ: НОД(900; 36) = 36.

Таким образом, ответы:

1. ( 6 ),
2. ( 1 ),
3. ( 35 ),
4. ( 8 ),
5. ( 36 ).

Для нахождения НОД можно также использовать алгоритм Евклида, который быстрее, особенно для больших чисел.

Наибольшее общее делитель (НОД) двух или более чисел — это наибольшее натуральное число, на которое делятся все эти числа. Для нахождения НОД можно использовать различные методы, такие как разложение на простые множители или алгоритм Евклида. Давайте рассчитаем НОД для каждого из заданных пар чисел.

1) НОД(12; 18)

Разложим числа на простые множители:

• ( 12 = 2^2 \times 3 )
• ( 18 = 2 \times 3^2 )

Находим НОД:

• Для 2: выбираем наименьшую степень ( 2^1 )
• Для 3: выбираем наименьшую степень ( 3^1 )

Таким образом, НОД(12; 18) = ( 2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6 ).

2) НОД(25; 48)

Разложим числа на простые множители:

• ( 25 = 5^2 )
• ( 48 = 2^4 \times 3 )

Находим НОД:

• У чисел 25 и 48 нет общих простых множителей.

Следовательно, НОД(25; 48) = 1.

3) НОД(140; 35)

Разложим числа на простые множители:

• ( 140 = 2 \times 5 \times 7 )
• ( 35 = 5 \times 7 )

Находим НОД:

• Для 5: выбираем наименьшую степень ( 5^1 )
• Для 7: выбираем наименьшую степень ( 7^1 )

Таким образом, НОД(140; 35) = ( 5^1 \times 7^1 = 5 \times 7 = 35 ).

4) НОД(24; 16)

Разложим числа на простые множители:

• ( 24 = 2^3 \times 3 )
• ( 16 = 2^4 )

Находим НОД:

• Для 2: выбираем наименьшую степень ( 2^3 )
• У числа 3 нет соответствующего множителя в 16.

Таким образом, НОД(24; 16) = ( 2^3 = 8 ).

5) НОД(900; 36)

Разложим числа на простые множители:

• ( 900 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 )
• ( 36 = 2^2 \times 3^2 )

Находим НОД:

• Для 2: выбираем наименьшую степень ( 2^2 )
• Для 3: выбираем наименьшую степень ( 3^2 )

Таким образом, НОД(900; 36) = ( 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 ).

Итоговые результаты:

1. НОД(12; 18) = 6
2. НОД(25; 48) = 1
3. НОД(140; 35) = 35
4. НОД(24; 16) = 8
5. НОД(900; 36) = 36

Эти результаты показывают, как можно находить НОД с помощью разложения на простые множители и анализа общих делителей.