1. На двери пещеры с сокровищами висит кодовый замок с шифром: Нужно набрать на замке семь разных цифр...

Для того чтобы найти правильную комбинацию цифр для кодового замка, нужно рассмотреть каждое равенство по отдельности.

1. xx: x - это означает, что две цифры, образующие двузначное число, делятся на однозначное число без остатка. Подходят только числа 12, 24, 36, 48 и 72. Из них только 48 подходит, так как 4 делится на 8 без остатка.

2. x = x - это очевидно, что только 1 может быть равно 1.

3. x = x + x - это значит, что число равно сумме самого себя и другого числа. Единственное подходящее число - 2.

4. x = x * x - это означает, что число равно квадрату самого себя. Подходят только 1 и 4, так как только они равны своему квадрату.

Итак, правильная комбинация цифр для кодового замка - 4821.

Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом. Нам нужно подобрать такие цифры от 1 до 9, чтобы они удовлетворяли следующим уравнениям, где каждая цифра используется только один раз:

1. $\frac{xx}{x}=x$
2. $x-x=x$
3. $x+x=x$
4. $x\times x=x$

На первый взгляд кажется, что эти уравнения не могут быть выполнены одновременно, так как они противоречат друг другу. Рассмотрим каждое уравнение:

Уравнение 1: $\frac{xx}{x}=x$

Это уравнение говорит о том, что если взять две одинаковые цифры в числителе и одну из них в знаменателе, результат должен быть равен этой же цифре. Например, $\frac{11}{1}=11$. Это возможно, если $xx$ обозначает двузначное число, составленное из двух одинаковых цифр, и делится на одну из этих цифр без остатка. Однако, это не применимо в контексте использования всех цифр от 1 до 9, где все цифры должны быть разными.

Уравнение 2: $x-x=x$

Это невозможно, так как любое число минус само себя равно нулю, а не какому-то другому числу.

Уравнение 3: $x+x=x$

Это тоже невозможно, так как удвоение любого числа не может равняться самому числу, за исключением, если x = 0, но 0 не входит в наш список цифр.

Уравнение 4: $x\times x=x$

Это уравнение также невозможно для любых натуральных чисел, кроме 1. То есть оно верно, если x = 1, но 1 уже используется в других контекстах.

Вывод

Таким образом, данные уравнения не могут быть выполнены одновременно при условии использования семи различных цифр от 1 до 9. Каждое уравнение по отдельности невозможно, кроме тривиальных случаев, которые не могут быть выполнены одновременно другими уравнениями. Такое расположение цифр и условия являются математически неразрешимыми в рамках предложенных ограничений.