Даны точки A(1, 2, 3) и B(3, -4, 6). Найти координаты и длину вектора AB.
Координаты вектора AB получаются вычитанием координат точки A из координат точки B: [ AB = B - A = (3 - 1, -4 - 2, 6 - 3) = (2, -6, 3) ]
Длина вектора AB определяется по формуле длины вектора в трехмерном пространстве: [ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 ]
Таким образом, координаты вектора AB: (2, -6, 3), а его длина равна 7.
Даны точки A(-1, 5, -10), B(5, -7, 8), D(5, -4, 2). Установить, равны ли векторы AB и CD.
Сначала найдем координаты векторов AB и CD: [ AB = B - A = (5 - (-1), -7 - 5, 8 - (-10)) = (6, -12, 18) ] [ CD = D - C = (5 - 5, -4 - (-7), 2 - 8) = (0, 3, -6) ]
Теперь сравним координаты векторов AB и CD: [ AB = (6, -12, 18) ] [ CD = (0, 3, -6) ]
Координаты векторов не совпадают, значит, векторы AB и CD не равны.
Даны векторы a(3, -2, 6) и b(0, 2, -1). Найти векторы c = 2a - b и d = -3a + 4b.
Сначала найдем координаты вектора c: [ c = 2a - b = 2(3, -2, 6) - (0, 2, -1) = (6, -4, 12) - (0, 2, -1) = (6, -6, 13) ]
Теперь найдем координаты вектора d: [ d = -3a + 4b = -3(3, -2, 6) + 4(0, 2, -1) = (-9, 6, -18) + (0, 8, -4) = (-9, 14, -22) ]
Таким образом, координаты векторов: [ c = (6, -6, 13) ] [ d = (-9, 14, -22) ]
Даны три вектора: a(1, -3, 4), b(3, -4, 2), c(-1, 1, 4). Вычислить координаты вектора 3a + 2b - c.
Сначала найдем координаты векторов 3a, 2b и -c: [ 3a = 3(1, -3, 4) = (3, -9, 12) ] [ 2b = 2(3, -4, 2) = (6, -8, 4) ] [ -c = -(-1, 1, 4) = (1, -1, -4) ]
Теперь сложим эти векторы: [ 3a + 2b - c = (3, -9, 12) + (6, -8, 4) + (1, -1, -4) = (3 + 6 + 1, -9 - 8 - 1, 12 + 4 - 4) = (10, -18, 12) ]
Таким образом, координаты вектора 3a + 2b - c: (10, -18, 12).
Для нахождения координат вектора АВ нужно вычесть координаты точки A из координат точки B. Получим вектор AB = (3-1, -4-2, 6-3) = (2, -6, 3). Длина вектора AB вычисляется по формуле длины вектора: |AB| = √(2^2 + (-6)^2 + 3^2) = √(4 + 36 + 9) = √49 = 7.
Для того чтобы установить, равны ли векторы AB и CD, необходимо вычислить координаты векторов AB и CD и сравнить их. Вектор AB = (5 - (-1), -7 - 5, 8 - (-10)) = (6, -12, 18), вектор CD = (5 - 5, -4 - (-7), 2 - 8) = (0, 3, -6). Векторы AB и CD не равны.
Для нахождения векторов C и D нужно умножить вектора a и b на соответствующие числа и вычесть их. C = 2a - b = 2(3, -2, 6) - (0, 0, 2, -1) = (6, -4, 12) - (0, 0, 2, -1) = (6, -4, 10, 1), D = -3a + 4b = -3(3, -2, 6) + 4(0, 0, 2, -1) = (-9, 6, -18) + (0, 0, 8, -4) = (-9, 6, -10, -4).
Для вычисления координат вектора 3a + 2b - c нужно умножить вектора a и b на соответствующие числа, вычесть вектор c и сложить результаты. 3a = 3(1, -3, 4) = (3, -9, 12), 2b = 2(3, -4, 2) = (6, -8, 4), 3a + 2b = (9, -17, 16), 3a + 2b - c = (9, -17, 16) - (-1, 1, 4) = (9 + 1, -17 - 1, 16 - 4) = (10, -18, 12).
